Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（13）—统计代价函数和最大似然估计

            统计代价函数和最大似然估计

  假定在没有测量误差时，真实的点准确满足一个单应变换，即：$\overline{x_i^{\prime }}=H\overline{x_i}$。假定每一幅图像坐标都具有零均值和统一的标准差$\delta$的高斯噪声。这意味着$x=\bar{x}+\Delta x$，其中$\Delta x$服从方差为${\delta }^2$的高斯分布。进一步假设每次测量的噪声是相在独立的，那么，若点的真值是$\bar{x}$，则每个测量点$x$的概率密度函数(pdf):
$$Pr(x)=(\frac{1}{2\pi {\delta }^2})e^{-d(x,\bar{x}{)}^2/(2{\delta }^2)}$$

单图像误差

  假定每点的误差是独立的，点对应{xiˉ↔xi′}\left \{ \bar{x_i}\leftrightarrow {x}'_i \right \}{xi​ˉ​↔xi′​}的概率就是它们单个 pdf 的乘积:
Pr({xi′}∣H)=∏i(12πδ2)e−d(xi′,Hxiˉ)2/(2δ2)Pr(\left \{ x'_i \right \}|H)=\prod _i(\frac{1}{2\pi\delta ^2})e^{-d(x'_i,H\bar{x_i})^2/(2\delta ^2)}Pr({xi′​}∣H)=i∏​(2πδ21​)e−d(xi′​,Hxi​ˉ​)2/(2δ2)

  其的对数似然为：
$$logPr(x_i^{\prime }|H)=-\frac{1}{2{\delta }^2}\sum _{i}d(x_i^{\prime },H\overline{x_i}{)}^2+常数$$

  最大似然 (ML) 估计$\hat{H}$最大化这个对数似然，即最小化:
$$d(x_i^{\prime },H\overline{x_i}{)}^2$$

  ML 估计等价子最小化几何误差函数。

双图像误差

  如果真实对应是$\left\{\overline{x_i}\leftrightarrow H\overline{x_i}=\overline{x_i^{\prime }}\right\}$，受噪声干扰的数据的 pdf 是：
Pr({xi,xi′}∣H,{xiˉ})=∏i(12πδ2)e−(d(xi,xiˉ)2+d(xi′,Hxiˉ)2)/(2δ2)Pr(\left \{ x_i ,x'_i\right \}|H,\left \{ \bar{x_i }\right \})=\prod _i(\frac{1}{2\pi\delta ^2})e^{-(d(x_i,\bar{x_i})^2+d(x'_i,H\bar{x_i})^2)/(2\delta ^2)}Pr({xi​,xi′​}∣H,{xi​ˉ​})=i∏​(2πδ21​)e−(d(xi​,xi​ˉ​)2+d(xi′​,Hxi​ˉ​)2)/(2δ2)

  ML 估计是求最小化：
$$\sum _{i}d(x_i,\widehat{x_i}{)}^2+d(x_i^{\prime },\widehat{x_i^{\prime }}{)}^2$$

   ML估计等同于最小化重投影误差函数。

Mahalanobis 距离

  一般高斯分布的情形，可以假定测量矢量$X$满足一个具有协方差矩阵$\sum$的高斯分布函数。最大化对数似然则等价于最小化Mahalanobis 距离：
$${\Vert X-\bar{X}\Vert }_{\sum }^2=(X-\bar{X}{)}^T{\sum }^{-1}(X-\bar{X})$$

  当每幅图像都有误差并假定一幅图像中的误差与另一幅图像中的误差是独立的时，合适的代价函数是：
$${\Vert X-\bar{X}\Vert }_{\sum }^2+{\Vert X^{\prime }-\overline{X^{\prime }}\Vert }_{{\sum }^{\prime }}^2$$

  其中$\sum$和${\sum }^{\prime }$是两幅图像的测量的协方差矩阵。