汉诺塔(C++)

本文通过一个古老的印度传说引入了汉诺塔问题,并将其转化为一个经典的递归算法问题。介绍了如何使用递归方法解决汉诺塔问题,给出了具体的移动步骤,并提供了C++代码实现。

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汉诺塔

故事背景

  法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

算法分析

  我们先将它转化为数学问题。如下图所示,从左到右有A、B、C三根柱子,其中A柱子上面有从小叠到大的n个圆盘,现要求将A柱子上的圆盘移到C柱子上去,期间只有一个原则:一次只能移到一个盘子且大盘子不能在小盘子上面,求移动的步骤。
1

  我们先举个简单的例子,当n=3时,可以按照下面的步骤进行:

  1. 将编号1盘子从A柱子移动到C柱子;
  2. 将编号2盘子从A柱子移动到B柱子;
  3. 将编号1盘子从C柱子移动到B柱子;
  4. 将编号3盘子从A柱子移动到C柱子;
  5. 将编号1盘子从B柱子移动到A柱子;
  6. 将编号2盘子从B柱子移动到C柱子;
  7. 将编号1盘子从A柱子移动到C柱子。

  从上面步骤可以看出,我们是先将最上面的两块从A借助C移动到B,再将3盘子移动到C。接着把1盘子移动到A也可看成从B借助C移动到A,最后分别把2和1移动到C。因此,我们可以用递归的方法来解决这个问题。算法思路如下:

if(1==n)
{
    直接将盘子从A移动到C;
}
else
{
    将n-1个盘子从A借助C移动到B;
    将编号n盘子直接从A移动到C;
    最后将n-1个盘子从B借助A移动到C;
}

  C++的代码实现:

#include<iostream>

using namespace std;
void HanTowel(int n, char A, char B, char C)
{
    if (n == 1)
    {
        cout << "将编号为" << n << "盘子从" << A << "柱子移动到" << C << "柱子" << endl;
    }
    else
    {
        HanTowel(n-1, A, C,B);
        cout << "将编号为" << n << "盘子从" << A << "柱子移动到" << C << "柱子" << endl;
        HanTowel(n - 1, B, A, C);

    }
}
int main()
{
    char ch1 = 'A';
    char ch2 = 'B';
    char ch3 = 'C';
    int n;

    cout << "请输入要移动的盘子的个数:";
    cin >> n;
    HanTowel(n,'A','B','C');
    system("pause");
    return 0;
}

  VS下运行结果如下:

2

### C++ 实现汉诺塔问题 #### 代码示例与解释 下面展示一段用于解决汉诺塔问题的C++代码,该代码不仅实现了基本的功能还展示了如何打印每次移动的具体情况。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; // 定义全局变量count用来统计总步数 int count = 1; void move(int disk, int from_rod, int to_rod){ // 打印当前操作详情以及递归调用深度信息 printf("深度:%d, 步数:%d, 盘子:%d 从 %d -> %d\n",disk, count, disk, from_rod, to_rod); ++count; } void hanoi(int disks, int source, int destination, int auxiliary){ if(disks == 1){ // 当只剩下一个圆盘时直接将其由source移到destination并记录此次动作 move(1, source, destination); } else{ // 将上面n-1个圆盘借助辅助杆auxiliary移至临时位置 hanoi(disks - 1, source, auxiliary, destination); // 移动最底下的大盘到目标处,并显示这一步骤的信息 move(disks, source, destination); // 把之前暂存于auxiliary上的n-1个小盘再转移到最终目的地 hanoi(disks - 1, auxiliary, destination, source); } } int main(){ int n; // 表示有多少层圆盘参与游戏 cout << "请输入盘子的数量: "; cin >> n; // 调用hanoi函数开始解决问题 hanoi(n, 1, 3, 2); } ``` 上述代码中`move()`负责输出每一次具体的移动行为及其对应的递归层次和总的执行次数;而核心逻辑则封装在了`hanoi()`里边,它接收四个参数分别代表剩余待处理的层数、源柱编号、目的柱编号还有中间过渡使用的辅助柱编号。当只剩下一层的时候就直接完成迁移工作,否则先将上部较小的部分迁移到辅助区等待时机,之后单独搬运底部最大的那片到达终点最后把先前留在别处的小部分也一并接过来[^1]。 对于理解这段程序而言,重要的是认识到无论其他所有部件怎样变动,最大尺寸的那个组件始终要经历一次完整的位移过程——即从初始点出发经过某个中介抵达预定的目标地点。这种特性使得我们可以放心大胆地假设除了顶层之外其余所有的物件都可以被视作一个整体对待从而简化思考难度[^2]。
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