Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（12）—不同的代价函数

                 不同的代价函数

  我们现在来介绍为确定$H$的超定解而需最小化的若干代价函数。

1.代数距离

  DLT 算法最小化范数$\Vert A\mathbf{h}\Vert$。矢量$\epsilon =A\mathbf{h}$称为残差矢量，并且要最小化的正是该误差矢量的范数。矢量${\epsilon }_i$ 被称为关联于点对应$x_i\leftrightarrow x_i^{\prime }$和单应$H$的代数误差矢量。该矢量的范数是一个标量，称为代数距离：
$$d_{alg}(x_i^{\prime },H{x}_i{)}^2=\Vert {\epsilon }_i\Vert ={\Vert \left[\begin{array}{ccc}{0}^{\mathbf{T}}& -w_i^{\prime }{\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}& y_i^{\prime }{\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\\ w_i^{\prime }{\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}& 0^{\mathbf{T}}& -x_i^{\prime }{\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\end{array}\right]\mathbf{h}\Vert }^2$$

  对于任何两个矢量$x_1$和 $x_2$:
$$d_{alg}(x_1,x_2{)}^2=a_1^2+a_2^2其中\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3{)}^T=x_1\times x_2$$

  给定对应的集合，最$\epsilon =Ah$是整个集合的代数误差矢量:

$$\sum _i{d}_{alg}(x_i^{\prime },H{x}_i{)}^2=\sum _i{\Vert {\epsilon }_i\Vert }^2=\Vert A\mathbf{h}\Vert ={\Vert \epsilon \Vert }^2$$

  其缺点是被最小化的量没有几何或统计上的意义。

2.几何距离

记号 矢量$x$表示测量的图像坐标；$\hat{x}$表示该点的估计值而$\bar{x}$表示该点的真值。

单图像误差 我们首先考虑第一幅图像的测量非常精确而误差仅出现在第二幅图像的情行。适宜最小化的量是转移误差。它是第二幅图像上测量点$x^{\prime }$与点$H\bar{x}$用之间的欧氏距离。用标记$d(x，y)$表示非齐次点$x$和$y$之间的欧氏距离。那么对应集合的转移误差是：
$$\sum _{i}d(x_i^{\prime },H\overline{x_i}{)}^2$$

对称转移误差 更切合实际的情形是图像测量误差在两幅图像中都发生，从而应该最小化两幅而不仅是一幅图像的误差：
$$\sum _{i}d(x_i,H^{-1}{x}_i^{\prime }{)}^2+d(x_i^{\prime },H{x}_i{)}^2$$

3.重投影误差一一两幅图像

  对每幅图像误差作量化的另一种方法是估计每组对应的"校正值"。为了得到完全的匹配点集有必要在一幅图像(第二幅图像)上对测量进行校正。
  单应$\hat{H}$和完全匹配的点对$\widehat{x_i}$和$\widehat{x_i^{\prime }}$以最小化总的误差函数。

          ${\sum }_{i}d(x_i,\widehat{x_i}{)}^2+d(x_i^{\prime },\widehat{x_i^{\prime }}{)}^2$ $s.t$ $\widehat{x_i^{\prime }}=\hat{H}\widehat{x_i}$ $\forall i$

  先由$x_i\leftrightarrow x_i^{\prime }$估计世界平面的点$\widehat{X_i}$,然后把它重投影到估计上认为是完全匹配的对应$\widehat{x_i}\leftrightarrow \widehat{x_i^{\prime }}$。

4.几何和代数距离的比较

  令${\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\prime }=(x_i^{\prime },y_i^{\prime },w_i^{\prime }{)}^T$并定义矢量$({\hat{x}}_i^{\prime },{\hat{y}}_i^{\prime },{\hat{w}}_i^{\prime }{)}^T={\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\prime }=H\bar{\mathbf{x}}$。则：
$$d({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\prime },{\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\prime })=d_{alg}({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}^{\prime },{\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{i}}^{\prime })/{\hat{w}}_i^{\prime }{w}_i^{\prime }$$

  几何距离与代数距离相关， 但不相等。只有当${\hat{w}}_i^{\prime }=w_i^{\prime }=1$两个距离相等。因此在仿射变换下，几何距离和代数距离相等。对于仿射变换，最小化几何距离可以用基于代数距离的线性DLT 算法。

5.重投影误差的几何解释

  两平面之间的单应估计可以视为用$4D$空间$I{R}^4$中的"曲面"来拟合点。每对图像点$x、x^{\prime }$定义测量空间$I{R}^4$的一个点，记作$\mathbf{X}$。对一个给定的单应$H$，满足$x^{\prime }\times Hx=0$的图像对应 $x\leftrightarrow x^{\prime }$定义了$I{R}^4$中的一个代数簇${\upsilon }_H$,它是两个超二次曲面的交集。

$$d(x_i,\widehat{x_i}{)}^2+d(x_i^{\prime },\widehat{x_i^{\prime }}{)}^2=d_{\perp }({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}},{\upsilon }_H{)}^2$$

  其中$d_{\perp }({\mathbf{X}}_{\mathbf{i}},{\upsilon }_H{)}^2$是点 $X$到簇${\upsilon }_H$的垂直距离。

6.Sampson 误差

  Sampson 误差其复杂性介于代数和几何代价函数之间，但非常近似于几何误差。对给定的单应$H$，在${\upsilon }_H$上的任何点$\mathbf{X}=(x,y,x^{\prime },y^{\prime }{)}^T$，代价函数用$C_H(X)=0$表示。用下列 Taylor 展开式来一阶逼近：
$$C_H(X+{\delta }_x)=C_H(X)+\frac{\partial C_H}{\partial X}{\delta }_x$$

  记${\delta }_x=\hat{X}-X$希望$\hat{X}$在${\upsilon }_H$上，即$C_H(\hat{X})=0$,因此$C_H(X)+\frac{\partial C_H}{\partial X}{\delta }_x=0$。记成$J{\delta }_x=-\epsilon$，其中$J$是偏导数矩阵.，$\epsilon$与$X$相关的代价函数$C_H(X)$，最小化问题是求满足此方程的最小${\delta }_x$。即：
  求在满足$J{\delta }_x=-\epsilon$条件下使$\Vert {\delta }_x\Vert$取最小值的矢量${\delta }_x$。

  使用 Lagrange 乘子方法，求得范数${\Vert {\delta }_x\Vert }^2$是Sampson 误差 :
$${\Vert {\delta }_x\Vert }^2={\delta }_x^T{\delta }_x={\epsilon }^T(J{J}^T{)}^{-1}\epsilon$$