Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记（7）—3D 射影几何之平面、直线和二次曲面的表示和变换

      3D 射影几何之点、平面、直线和二次曲面的表示和变换

1.点和射影变换
  3 维空间的一点 $X$用齐次坐标表示为一个 4 维矢量，其次矢量$X=(X_1,X_2,X_3,X_4{)}^T$当$X_4\ne 0$时表示$I{R}^3$中非齐次坐标为$(X,Y,Z{)}^T$的点，其中:
$$X=X_1/X_4,Y=X_2/X_4,Z=X_3/X_4$$

  当$X_4=0$的齐次点表示无穷远点.。

  $I{R}^3$ 上的射影变换是由非奇异 4 X 4 矩阵给出，它是关于齐 次 4 维矢盘的线性变换:$H^{\prime }=XH$,该映射是保线变换(直线被映射到直线)。

2.平面

平面的齐次表示是 4 维矢量: $\pi =（{\pi }_1，{\pi }_2，{\pi }_3，{\pi }_4{）}^T$

点$X$ 在平面 $\pi$ 上则： ${\pi }^{T}X=0$

联合与关联关系

• 平面可由一般位置的三个点或一条直线与一个点的联合来唯一确定(一般位置指三点不共线或在后一种情形下指点不在直线上)。
• 两张不同的平面相交于唯一的直线。
• 三张不同的平面相交子唯一的点。

三点确定一张平面

  设确定平面的三个点是：
$$X_1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{X}}_1}{1}\right),X_2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{X}}_2}{1}\right),X_3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{X}}_3}{1}\right)$$

  则：
$$\pi =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\left({\tilde{X}}_1-{\tilde{X}}_3\right)\times \left({\tilde{X}}_2-{\tilde{X}}_3\right)}{-{\tilde{X}}_3^T\left({\tilde{X}}_1\times {\tilde{X}}_2\right)}\right)$$

三平面确定一点

  三张平面 ${\pi }_i$, 的交点$ X $可通过求以三张平面为行的 3x4 矩阵的(右)零空间直接计算出来：
$$\left[\begin{array}{c}{\pi }_1^T\\ {\pi }_2^T\\ {\pi }_3^T\end{array}\right]X=0$$

射影变换

  在点变换$X^{\prime }=HX$下，平面变换为${\pi }^{\prime }=H^{-T}\pi$。

平面上的点的参数表示

  在平面 $\pi$上的点$X$可以写成:
$$X=Mx$$

  其中 4 X 3 矩阵$M$的列生成${\pi }^T$的秩为 3 的零空间，即${\pi }^{T}M=0^T$。

###3.直线

  两点的连接或两平面的相交定义一条直线.在 3 维空间中，直线有 4 个自由度。

3.1零空间与生成子空间表示

  这种表示以直观的几何概念为基础。
  假定$A$、$B$是两（不重合）的空间点，那么连接这两点的直线由一个2X4矩阵$W$的行的生成子空间表示：
$$W=\left[\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right]$$

  那么：

• $W^T$的生成子空间是在直线$\lambda A+\mu B$上的点束。
• $W$的2维右零空间的生成子空间是以直线为轴的平面束。

  类似的，一条直线的对偶表示是两平面的$P$，$Q$的交线。该直线表示为矩阵$W^{\ast }$：
$$W^{\ast }=\left[\begin{array}{c}{P}^T\\ Q^T\end{array}\right]$$

  其具有以下性质：

• $W^{\ast T}$的生成子空间是以该直线为轴的平面束$\lambda ’P+\mu ’Q$。
• $W^{\ast }$的2维零空间的生成子空间是该直线上的点束。

  这两种表示以$W^{\ast }{W}^T=W{W}^{\ast T}=0_{2\times 2}$相联系。

补充

• 零空间

  一个算子$A$ 的零空间是方程$Av=0$的所有解$v$的集合。它也叫做$A$的核，核空间。如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间。

• 生成子空间

  设${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$是$R^n$中任一组向量。记 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$的所有线性组合的集合为$Span({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)$，即:
Span(α1,α2,...,αm)={k1α1+k2α2+...+kmαm∣kiϵR,i=1,2,...,m}Span(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m})=\left \{ k_1\alpha _{1}+k_2\alpha _{2}+...+k_m\alpha _{m} |k_{i}\epsilon R,i=1,2,...,m\right \}Span(α1​,α2​,...,αm​)={k1​α1​+k2​α2​+...+km​αm​∣ki​ϵR,i=1,2,...,m}

  称$Span({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m)$为向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$生成的子空间。

3. 2 Plücker 矩阵

  这里一条直线由 4X4 反对称齐次矩阵表示。连接两点$A，B$的直线由矩阵$L$表示，其元素为:
$$l_{ij}=A_i{B}_j-B_i{A}_j$$

  或用矢量记号等价地表示为：
$$L=A{B}^T-B{A}^T$$

  若干主要的性质如下:

• $L$的秩为 2。
• 该表示具有描述一条直线所需要的 4 个自由度。
• 矩阵 $L$与用来确定它的点$A，B$ 无关。
• 在点变换$X^{\prime }=HX$下，该矩阵变换为$L^{\prime }=HL{H}^T$时，即它是一个阶为 2 的张量。

  由两平面$P、Q$的交线确定的直线的对偶 Plücker 表示$L^{\ast }$为：
$$L^{\ast }=P{Q}^T-Q{P}^T$$

  在点变换$ X’= HX $下，该矩阵变换为$ L^{*’} = H^{-T}L*H^{-1}$时，即它是一个阶为 2 的张量。

• 由点X和直线L联合而确定的平面为：
  $$\pi =L^{\ast }X$$
  并且$L^{\ast }X=0$的充要条件是$X$在$L$上。
• 由直线$L$和平面$\pi$相交而确定的点为：
  $$X=L\pi$$
  并且$L\pi =0$的充要条件是$L$在$\pi$上。

3. 3 Plücker 直线坐标

  Plücker 直线坐标是4X4反对称Plücker 矩阵$L$的六个非零元素，即：
L={l12,l13,l14,l23,l42,l34}\mathcal{L} =\left \{ l_{12} , l_{13} , l_{14} , l_{23} , l_{42} , l_{34} \right \}L={l12​,l13​,l14​,l23​,l42​,l34​}

因为$detL=0$其坐标满足方程：
$$l_{12}{l}_{34}+l_{13}{l}_{42}+l_{14}{l}_{23}=0$$

结论1 两条直线$\mathcal{L}$和$\hat{\mathcal{L}}$共面(因而相交)的充要条件是$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=0$

• 如果$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=0$， 则 6 维矢量 $\mathcal{L}$ 仅表示 $I{P}^3$中一条直线。

• 假定两条直线$\mathcal{L} $和$\hat{\mathcal{L}}$分别是平面$P$,$Q$和$\hat{P}$,$\hat{Q}$的交线，那么：
  $$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=det[P,Q,\hat{P},\hat{Q}]$$
  同理两条直线的相交的充要条件是$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=0$。

• 如果 $\mathcal{L}$ 是两平面$P，Q$ 的交线 ，而$\hat{\mathcal{L}}$是两点 $A，B$的连线，那么:
  $$(\mathcal{L}|\hat{\mathcal{L}})=(P^{T}A)(Q^{T}B)-(Q^{T}A)(P^{T}B)$$

补充

• 反对称矩阵 设$A$为$n$维方阵，若有$A^T=-A$，则称矩阵$A$为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。

###4.二次曲面与对偶二次曲面

  $I{P}^3$中，二次曲面由下列方程定义:
$$X^{T}QX=0$$

  其中$Q$是一个 4X4 的对称矩阵。

• 一个二次曲面有 9 个自由度。
• 一般位置上的九个点确定一个二次曲面。
• 如果矩阵$Q$是奇异的，那么二次曲面是退化的 ，并可以由较少的点来确定。
• 二次曲面定义了点和平面之间的一种配极。平面$\pi =QX$称为是$X$ 关于$Q$的极平面。当$Q$为非奇异并且$X$在二次曲面之外时，极平面由过$X$且与$Q$相切的射线组成的锥与$Q$相接触的点来定义。如果$X$在$Q$上，那么$QX$ 是$Q$在点$X$ 的切平面。
• 平面$\pi$与二次曲面$Q$的交线是二次曲线$C$。
• 在点变化$X^{\prime }=HX$,(点)二次曲面变化为：
  $$Q^{\prime }=H^{-T}Q{H}^{-1}$$

二次曲面的分类

  对角矩阵$D$的符号差，记为$\sigma (D)$,定义为$D$中+1的个数和-1的个数的差值。

秩	$\sigma$	对角线	方程	实现
4	4 2 0	(1,1,1,1) (1,1,1,-1) (1,1,-1,-1)	$X^2+Y^2+Z^2+1=0$ $X^2+Y^2+Z^2=1$ $X^2+Y^2=Z^2+1$	无实点 球面 单叶双曲面
3	3 1	（1,1,1,0） （1,1，-1,0）	$X^2+Y^2+Z^2=0$ $X^2+Y^2=Z^2$	一点$(0,0,0,1{)}^T$ 过原点的圆锥
2	2 0	（1,1,0,0） （1，-1,0,0）	$X^2+Y^2=0$ $X^2=Y^2$	单条直线（Z-轴） 两平面$X=\pm Y$
1	1	(1,0,0,0)	$X^2=0$	平面$X=0$