hdu 5225 Tom and permutation(组合数学)

题意:

要求你求出字典序比当前序列小的序列的逆序数的和。

解析:

组合数学的问题,这题先要求出n个数的全排列的逆序数的和是多少。

当n = 1,他只有1个排列,然我们现在利用1推出2的组合是多少。

思路是把2往前面1排好的序列内插入,显然也可以插前面和后面。
那么会产生1 2、2 1这两个排列,由于2是最大的数,所以当插入后面的位置时产生的逆序对多0,插在前面的位置逆序对多1,那么2种插法总共会多出1个逆序数对。
而1只有一个排列,所以总共会多出1*1 = 1个逆序对
那么当n = 2时的总共的逆序对 = (n =1时的逆序数对) + 插入2时候出多的1个
= 0 + 1 = 1

然后是当 n = 3时
n = 2的时候有2个排列
1 2、2 1
那么每个排列,对于3有3个位置插插入
1 2 3 插最后面
1 3 2 插中间
3 1 2 插前面 
这3种插法会多出 0+1+2 = 3 逆序对
而n=2的时候有2个排列,每个排列会多出3,总共多出 2*3 = 6个

那么加上n=2的时候的逆序数对*3可以放置的位置 = 1*3 = 3
所以dp公式可以推得:dp[i]=(i1)!i(i1)/2+idp[i1]

然后是第二步,类似数位dp,一位一位的放置数字
那么有3种情况要考虑。
1. 逆序对一个在k位,一个在[k+1, n]
2. 两个都在(k, n]
3. 一个在[1,k-1],一个在[k, n]

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = (int)(1e9 + 7);
const int N = 105;
int n, a[N];
ll dp[N], fact[N];
bool vis[N];
void init() {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    fact[0] = fact[1] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        dp[i] = ((fact[i-1] * i*(i-1)/2)%MOD + i*dp[i-1])%MOD;
        fact[i] = (fact[i-1]*i) % MOD;
    }
}
int small(int pos) {
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i < pos; i++) {
        sum += !vis[i];
    }
    return sum;
}
ll solve() {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    ll ans = 0, cnt = 0;
    vis[0] = true;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j < a[i]; j++) {
            if(!vis[j]) {
                ans = (ans + small(j)*fact[n-i]) % MOD; //一个在k,一个在[k+1, n]
                ans = (ans + dp[n-i]) % MOD; //两个都在(k, n]
                ans = (ans + cnt*fact[n-i]) % MOD; //一个在[1,k-1],一个在[k, n]
            }
        }
        vis[a[i]] = true;
        cnt += small(a[i]);
    }
    return ans;
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF) {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        printf("%lld\n", solve());  
    }
    return 0;
}
### HDU OJ 排列组合问题解法 排列组合问题是算法竞赛中的常见题型之一,涉及数学基础以及高效的实现技巧。以下是关于如何解决此类问题的一些通用方法和具体实例。 #### 数学基础知识 在处理排列组合问题时,需要熟悉以下几个基本概念: - **阶乘计算**:用于求解全排列的数量 $ n! = n \times (n-1) \times ... \times 1 $[^4]。 - **组合数公式**:$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 表示从 $ n $ 中选取 $ k $ 的方案数[^5]。 - **快速幂运算**:当涉及到模运算时,可以利用费马小定理优化逆元的计算[^6]。 #### 题目推荐与分析 以下是一些典型的 HDU OJ 上的排列组合题目及其可能的解法: ##### 1. 基础排列组合计数 - **HDU 2039 近似数** - 描述:给定两个整数 $ a $ 和 $ b $,统计区间内的近似数数量。 - 方法:通过枚举每一位上的可能性来构建合法数字并计数[^7]。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; long long comb(int n, int r){ if(r > n || r < 0)return 0; long long res=1; for(int i=1;i<=r;i++)res=res*(n-i+1)/i; return res; } int main(){ int t,n,k; cin>>t; while(t--){ cin>>n>>k; cout<<comb(n+k-1,k)<<endl; // 组合数应用 } } ``` ##### 2. 动态规划的应用 - **HDU 1028 Ignatius and the Princess III** - 描述:给出正整数 $ m $ 和 $ n $,问有多少种方式把 $ m $ 分成最多 $ n $ 份。 - 方法:定义状态转移方程 $ dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i] $ 来表示当前总和为 $ j $ 并分成至多 $ i $ 份的情况数目[^8]。 ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=1e3+5; long long c[MAXN][MAXN]; void init(){ memset(c,0,sizeof(c)); c[0][0]=1; for(int i=1;i<MAXN;i++){ c[i][0]=c[i][i]=1; for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%(1e9+7); } } int main(){ init(); int T,m,n; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d%d",&m,&n); printf("%lld\n",c[m+n-1][min(m,n)]); } } ``` #### 总结 针对不同类型的排列组合问题,可以选择合适的工具和技术加以应对。无论是简单的直接计算还是复杂的动态规划模型,都需要扎实的基础知识作为支撑。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值