HDU5225 Tom and permutation(排列组合)

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本文探讨了如何解决给定排列下比其更小排列的逆序对数之和的问题，并通过实例解释了计算过程。利用数学公式和代码实现，详细介绍了计算方法及其实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

Tom学会了通过写程序求出一个1-n的排列的逆序对数，但他的老师给了他一个难题：
给出一个1-n的排列，求所有字典序比它小的1-n的排列的逆序对数之和。
Tom一时不知道该怎么做，所以他来找你帮他解决这个问题。
因为数可能很大，答案对109+7取模。

从前往后推，先计算1-k的所有排列可以产生逆序总数，

先假设db[2]为1-2的结果，那么我们来看3的排列，他是由1[2,3],2[1,3],3[1,2]三项组成,【】为所有排列的意思，第一项中【2,3】组合对结果贡献db【2】，前面的1小于后面两数，无贡献，总共db【2】；第二项【1,3】组合对结果贡献db【2】，前面2对后面的1始终产生1个逆序，总共db【2】+2！；第二项【1,2】组合对结果贡献db【2】，前面的3对后面的1,2始终产生2个逆序，总共db【2】+2*2！；继续推就能推出1-k的所有排列可以产生逆序总数。

然后看一个样例3 3 2 1，它的序列有

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

qq（i，j）计算第i位后面比j小的数字个数，

那么前两个为一组，产生2！*qq（1,1）+db【2】逆序，第三到第四产生2！*qq（1,2）+db【2】逆序，最后一组需要用类似数位的方法计算个数然后统计，代码会比我说的清晰点。

代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<cstring>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(long long i=(a);i<(b);i++)
#define rev(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define clr(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
using namespace std;

const double eps=10e-10;
const LL mod=1000000007 ;
const int maxn=105;
const int maxm=600005;

LL C(LL x)
{
    if(x==0)return 0;
    LL ret=1;
    while(x>1)
    {
        ret=ret*x%mod;
        x--;
    }
    return ret;
}
LL da[105],db[105],sum[105],done[105];
void inn()
{
    db[2]=1;
    rep(i,3,105)
    {
        db[i]=db[i-1];
        rep(j,1,i)
            db[i]=(db[i]+j*C(i-1)+db[i-1])%mod;
    }
}
LL n;
LL qq(LL a,LL b)
{
    LL ans=0;
    rep(i,a+1,n)
        if(da[i]<b)ans++;
    return ans;
}
int main()
{
    inn();
    while(~scanf("%I64d",&n))
    {
        rep(i,0,n)
        scanf("%d",&da[i]);
        LL ans=0;clr(sum,0);clr(done,0);
        rep(i,0,n)
        {
            done[da[i]]=1;
            rep(j,1,da[i])
            if(!done[j])sum[i]+=C(n-1-i);
            rep(j,1,da[i])
            if(!done[j])ans=(ans+db[n-1-i]+C(n-1-i)*qq(i,j))%mod;
        }
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
        {
            sum[i]+=sum[i+1];
            ans=(ans+sum[i+1]*qq(i,da[i]))%mod;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}