HDU5225 Tom and permutation(排列组合)

本文探讨了如何解决给定排列下比其更小排列的逆序对数之和的问题,并通过实例解释了计算过程。利用数学公式和代码实现,详细介绍了计算方法及其实现细节。

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题意:

Tom学会了通过写程序求出一个1-n的排列的逆序对数,但他的老师给了他一个难题:
给出一个1-n的排列,求所有字典序比它小的1-n的排列的逆序对数之和。
Tom一时不知道该怎么做,所以他来找你帮他解决这个问题。
因为数可能很大,答案对109+7取模。
从前往后推,先计算1-k的所有排列可以产生逆序总数,

先假设db[2]为1-2的结果,那么我们来看3的排列,他是由1[2,3],2[1,3],3[1,2]三项组成,【】为所有排列的意思,第一项中【2,3】组合对结果贡献db【2】,前面的1小于后面两数,无贡献,总共db【2】;第二项【1,3】组合对结果贡献db【2】,前面2对后面的1始终产生1个逆序,总共db【2】+2!;第二项【1,2】组合对结果贡献db【2】,前面的3对后面的1,2始终产生2个逆序,总共db【2】+2*2!;继续推就能推出1-k的所有排列可以产生逆序总数。

然后看一个样例3  3 2 1,它的序列有

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

qq(i,j)计算第i位后面比j小的数字个数,

那么前两个为一组,产生2!*qq(1,1)+db【2】逆序,第三到第四产生2!*qq(1,2)+db【2】逆序,最后一组需要用类似数位的方法计算个数然后统计,代码会比我说的清晰点。

代码:

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<cstring>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(long long i=(a);i<(b);i++)
#define rev(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define clr(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
using namespace std;

const double eps=10e-10;
const LL mod=1000000007 ;
const int maxn=105;
const int maxm=600005;

LL C(LL x)
{
    if(x==0)return 0;
    LL ret=1;
    while(x>1)
    {
        ret=ret*x%mod;
        x--;
    }
    return ret;
}
LL da[105],db[105],sum[105],done[105];
void inn()
{
    db[2]=1;
    rep(i,3,105)
    {
        db[i]=db[i-1];
        rep(j,1,i)
            db[i]=(db[i]+j*C(i-1)+db[i-1])%mod;
    }
}
LL n;
LL qq(LL a,LL b)
{
    LL ans=0;
    rep(i,a+1,n)
        if(da[i]<b)ans++;
    return ans;
}
int main()
{
    inn();
    while(~scanf("%I64d",&n))
    {
        rep(i,0,n)
        scanf("%d",&da[i]);
        LL ans=0;clr(sum,0);clr(done,0);
        rep(i,0,n)
        {
            done[da[i]]=1;
            rep(j,1,da[i])
            if(!done[j])sum[i]+=C(n-1-i);
            rep(j,1,da[i])
            if(!done[j])ans=(ans+db[n-1-i]+C(n-1-i)*qq(i,j))%mod;
        }
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
        {
            sum[i]+=sum[i+1];
            ans=(ans+sum[i+1]*qq(i,da[i]))%mod;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}




### HDU OJ 排列组合问题解法 排列组合问题是算法竞赛中的常见题型之一,涉及数学基础以及高效的实现技巧。以下是关于如何解决此类问题的一些通用方法和具体实例。 #### 数学基础知识 在处理排列组合问题时,需要熟悉以下几个基本概念: - **阶乘计算**:用于求解全排列的数量 $ n! = n \times (n-1) \times ... \times 1 $[^4]。 - **组合数公式**:$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 表示从 $ n $ 中选取 $ k $ 的方案数[^5]。 - **快速幂运算**:当涉及到模运算时,可以利用费马小定理优化逆元的计算[^6]。 #### 题目推荐与分析 以下是一些典型的 HDU OJ 上的排列组合题目及其可能的解法: ##### 1. 基础排列组合计数 - **HDU 2039 近似数** - 描述:给定两个整数 $ a $ 和 $ b $,统计区间内的近似数数量。 - 方法:通过枚举每一位上的可能性来构建合法数字并计数[^7]。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; long long comb(int n, int r){ if(r > n || r < 0)return 0; long long res=1; for(int i=1;i<=r;i++)res=res*(n-i+1)/i; return res; } int main(){ int t,n,k; cin>>t; while(t--){ cin>>n>>k; cout<<comb(n+k-1,k)<<endl; // 组合数应用 } } ``` ##### 2. 动态规划的应用 - **HDU 1028 Ignatius and the Princess III** - 描述:给出正整数 $ m $ 和 $ n $,问有多少种方式把 $ m $ 分成最多 $ n $ 份。 - 方法:定义状态转移方程 $ dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i] $ 来表示当前总和为 $ j $ 并分成至多 $ i $ 份的情况数目[^8]。 ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=1e3+5; long long c[MAXN][MAXN]; void init(){ memset(c,0,sizeof(c)); c[0][0]=1; for(int i=1;i<MAXN;i++){ c[i][0]=c[i][i]=1; for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%(1e9+7); } } int main(){ init(); int T,m,n; scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d%d",&m,&n); printf("%lld\n",c[m+n-1][min(m,n)]); } } ``` #### 总结 针对不同类型的排列组合问题,可以选择合适的工具和技术加以应对。无论是简单的直接计算还是复杂的动态规划模型,都需要扎实的基础知识作为支撑。
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