UVA - 10003 Cutting Sticks（dp和记忆化搜索两种解法）

这篇博客探讨了如何解决UVA在线判题平台上的10003号问题——Cutting Sticks。通过介绍动态规划（dp）和记忆化搜索两种解题方法，详细阐述了如何计算切割木棍的最小成本。文章重点在于状态转移方程的建立和记忆化搜索的实现策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
有一根长度为L的木棍，还有n个切割点的位置（按照从小到大排列）。你的任务是在这些切割点的位置处把木棍切成n+1部分，使得总切割费用最小。每次切割的费用等于被切割木棍的长度。
例如，L = 10，切割点为2,4,7。如果按照2,4,7的顺序排序，费用为10+8+6=24，如果按照4,2,7的顺序，费用为10+4+6=20

解析：
这题有两种解法记忆化搜索和dp，但是状态转移公式只有一个。
设d(i,j)为切割木棍i～j的最优费用，
则d(i,j) = min{d(i,j)+d(k,j) | i<k<j }+a[j]-a[i]，

其中最后一项a[j]-a[i]代表第一刀的费用。切完后，木棍变为i～k和k～j两个部分，状态转移方程由此可得。

记忆化搜索

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int c[N] ,dp[N][N];
int len , n;
int d(int l, int r) {
	if(r - l == 1) {
		return 0;
	}
	if(dp[l][r] > 0) {
		return dp[l][r]; //算过>0，就不要重新再算了
	}
	dp[l][r] = INF;
	for(int i = l; i <= r; i++) {
		dp[l][r] = min( dp[l][r], d(l,i)+d(i,r)+c[r] - c[l]);
	}
	return dp[l][r];
}
int main() {
	while(scanf("%d",&len) != EOF && len) {
		scanf("%d",&n);
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d",&c[i]);
		}
		c[0] = 0;
		c[n+1] = len;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		int ans = d(0, n+1);
		printf("The minimum cutting is %d.\n",ans);
	}
	return 0;
}

dp方法

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1050;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dp[N][N];
int c[N];
int main() {
	int len, n;
	while( scanf("%d",&len) != EOF && len) {
		scanf("%d",&n);
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d",&c[i]);
		}
		c[0] = 0;
		c[n+1] = len;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int p = 1; p <= n+1; p++) { //枚举区间的长度为 1 ～ n+1
			for(int i = 0; i <= n+1; i++) { //枚举区间的起点为0 ～ n+1
				int j = i+p;
				int mina = INF;
				for(int k = i+1; k < j; k++) { //枚举断点
					mina = min(mina, dp[i][k]+dp[k][j]);
				}
				if(mina != INF) {
					dp[i][j] = mina + c[j]-c[i];
				}
			}
		}
		printf("The minimum cutting is %d.\n",dp[0][n+1]);
	}
	return 0;
}