一阶线性微分方程解法

最新推荐文章于 2025-02-14 20:22:38 发布

rgbhi

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分类专栏： # 普林斯顿读本笔记文章标签：算法线性代数

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啥是微分方程？普通方程我知道，就是x，y的关系式，比如y=2x，这算是一个方程。

微分方程就是，这个等式里不止有x，y两个元，还会有诸如 $\frac{dy}{dx}$ ， ${y}''$ 等存在。

例如 $\frac{dy}{dx}+y=0$

那微分方程求解的目标是什么呢？我们最后要求出什么呢？

目标：我们需要求出y与x的关系式。

比如上面的 $\frac{dy}{dx}+y=0$ ，我们想要求在这个等式下，y与x的关系式是什么？

所以，咋求？两眼抓瞎。

我们需要提一嘴，在求微分方程的过程中， $e^{kx}$ 是我们求解微分方程的好帮手。

$e^{kx}$ 的好处在于，它的导数等于 $ke^{kx}$ ，k倍的本身。

一阶线性微分方程

即形如 ${y}'+\alpha y=q(x)$ ，左边是关于y的关系式，右边关于x的关系式不为零

齐次微分方程

齐次微分方程是一个微分方程，如果它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解，则称为齐次微分方程。

例如， $\frac{dy}{dx}+y=0$ 这个就是一个一阶齐次方程。为啥这么说呢，它的解乘以任意常数后，任然是它的解吗？是这样吗？

那我们先来求它的解试试看吧。

$\frac{dy}{dx}=-y$ y的导数等于-1倍的本身，是不是有点眼熟

$e^{kx}$ 的好处在于，它的导数等于 $ke^{kx}$ ，k倍的本身。

所以k=-1

$y=e^{-x}$ 这就是对的了吗？这就是完整的关系式了吗？

非也

$y=Ae^{-x}$ A为任意实数，都满足这个微分方程。不信？那验证一下好啦

${y}'+y=A*-1*e^{-x}+Ae^{-x}=0$

它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解。

所以叫 $\frac{dy}{dx}-ky=0$ 这种形式的，为一阶齐次方程。

其实很好理解，因为右侧是0，0乘以任何数还是0，y乘以任何常数，它的导数也乘以任何常数，

后就被约掉了，跟没乘一样，哈哈。

一阶线性非齐次微分方程

那一阶非齐次方程怎么解才行呢？

$\frac{dy}{dx}-ky=p(x)$ 即右边不为0，而是一个x的表达式。

如果右边等于0，那好解，就是咱上面已经解出来过的，问题是右边还带x的表达式，这就不是齐次方程了。

我们重新观察一下，“y的导数”和“y本身常数次倍”的和，这我们好像在哪里见过

${(ay)}'=a{y}'+{a}'y$

$a=e^{-kx}$

我们将 $\frac{dy}{dx}-ky=p(x)$ 两边都乘以 $e^{-kx}$

即得到

$e^{-kx}*\frac{dy}{dx}+(-k)*e^{-kx}*y=p(x)*e^{-kx}$

这样看不明白的话，将 $\frac{dy}{dx}$ 换为 ${y}'$

$e^{-kx}*{y}'+(-k)*e^{-kx}*y=p(x)*e^{-kx}$

${(e^{-kx}y)}'=p(x)e^{-kx}$

$(e^{-kx}y)=\int p(x)e^{-kx} dx$

$y=e^{kx}\int p(x)e^{-kx} dx$

问题就变成，求x表达式的积分了

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