【高数】微分方程，公式+推导+例题

Kenneth_Creative

已于 2025-03-19 13:46:34 修改

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文章标签：数学建模机器学习考研

于 2024-05-10 09:00:00 首次发布

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一、一阶微分方程

1.1 可分离变量的微分方程

（1）一般形式： $\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)g\left(x\right)$

（2）求解：当 $g\left(x\right)\neq0$ 可化为： $\frac{dy}{g\left(x\right)}=f\left(x\right)dx$ ，再同时积分： $\int\frac{dy}{g\left(x\right)}=\int f\left(x\right)dx$

1.2 齐次方程

（1）一般形式： $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$

（2）求解：令： $u=\frac{y}{x}$ 即： $y=xu$ 有： $\frac{dy}{dx}=\frac{d\left(xu\right)}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$

代入原方程： $u+x\frac{du}{dx}=f\left(u\right)$ 即可求解，最后将x，y换回来

1.3 一阶线性微分方程

（1）一般形式： $\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$

（2）一阶齐次线性微分方程

若： $Q\left(x\right)\equiv0$ ，则通解： $y=Ce^{-\int P\left(x\right)dx}$

（3）一阶非齐次线性微分方程

若： $Q(x)\neq0$ ，则通解： $y=e^{-\int P\left(x\right)dx}\left[\int{Q\left(x\right)e^{\int P\left(x\right)dx}}dx+C\right]$

1.4 伯努利方程

（1）一般形式： $\frac{dx}{dy}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n \left ( n\neq0,1\ \right )$

（2）求解：等式两边同除 $y^n$ 得： $y^{-n}\frac{dx}{dy}+P\left(x\right)y^{1-n}=Q\left(x\right)$ …… ①

令： $z=y^{1-n}$ ，则： $z^\prime=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\left(1-n\right)y^{-n}\cdot\frac{dy}{dx}$

将 $y^{1-n}=z$ ， $y^{-n}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{z^\prime}{\left(1-n\right)}$ 代入①可得： $\frac{z^\prime}{\left(1-n\right)}+P\left(x\right)z=Q\left(x\right)$

整理得： $\frac{dz}{dx}+\left(1-n\right)P\left(x\right)z=\left(1-n\right)Q\left(x\right)$ ，此时按一阶线性微分方程求解

求出通解之后，使用 $z=y^{1-n}$ 换元得出原方程的通解

二、二阶微分方程

2.1 二阶齐次线性微分方程

（1）一般形式： $\frac{d^2y}{dx^2}+P\left(x\right)\frac{dy}{dx}+Q\left(x\right)=0$

（2）通解： $y=C_1y_1\left(x\right)+C_2y_2\left(x\right)\ \left(C_1,C_2\in R\right)$

（3）说明：其中 $y_1\left(x\right)$ ， $y_2\left(x\right)$ 为该方程特解，其线性无关

即： $\frac{y_2\left(x\right)}{y_1\left(x\right)}\neq C \left ( C\neq 0 \right )$

2.2 二阶常系数齐次线性微分方程

（1）一般形式： $\frac{d^2y}{dx^2}+p\frac{dy}{dx}+q=0$ （ $\ y\prime\prime+py\prime+qy=f\left(x\right)$ ）

（2）通解：

第一步，写出特征方程： $r^2+pr+q=0\ \left(p,q\in R\right)$

第二步，解特征根： $r_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}\ \left(p,q\in R\right)$

第三步，分情况写通解：

① 当 $p^2-4q>0$ ，有不等实根： $r_1\neq\ r_2$

通解： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\ \left(C_1,C_2\in R\right)$

② 当 $p^2-4q=0$ ，有相等实根： $r_1=r_2$

通解： $y=\left(C_1+C_2x\right)e^{r_1x}\ \left(C_1,C_2\in R\right)$

③ 当 $p^2-4q<0$ ，有共轭复根： $r_{1,2}=\alpha\pm\ i\beta$

其中： $\alpha=\frac{-p}{2}$ ， $\beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\neq0$

通解： $y=e^{\alpha x}\ \left(C_1cos{\beta x}{+C}_2sin{\beta x}\right)\ \left(C_1,C_2\in R\right)$

2.3 二阶非齐次线性微分方程

（1）一般形式： $\frac{d^2y}{dx^2}+P\left(x\right)\frac{dy}{dx}+Q\left(x\right)=f\left(x\right)$ （可解得特解： $y\left(x\right)$ ）

（2）对于齐次方程： $\frac{d^2y}{dx^2}\ +P\left(x\right)\frac{dy}{dx}+Q\left(x\right)=0$ （可解得通解： $Y\left(x\right)$ ）

（3）非齐次通解=齐次通解+非齐次特解（即： $y=y\left(x\right)+Y\left(x\right)$ ）

2.4 二阶常系数非齐次线性微分方程

（1）一般形式： $\ y\prime\prime+py\prime+qy=f\left(x\right)$

（2）非齐次通解=齐次通解+非齐次特解

（3）非齐次特解（重点）：

对于 $\ y\prime\prime+py\prime+qy=f\left(x\right)$ ，当 $f\left(x\right)=P_m\left(x\right)e^{\lambda x}$

猜想非齐次特解： $y\left(x\right)=Q\left(x\right)e^{\lambda x}$ （注意这里的λ和m后续要用）

对其求导得： $y\prime\prime$ ， $y\prime$ ，代入 $\ y\prime\prime+py\prime+qy=f\left(x\right)$

得： $\ Q\prime\prime\left(x\right)+\left(2\lambda+p\right)Q\prime\left(x\right)+\left(\lambda^2+p\lambda+q\right)Q\left(x\right)=P_m\left(x\right)$

有以下情况：

① 情况1： $\lambda^2+p\lambda+q\neq0$

$Q\left(x\right)$ 是一个m次多项式，则可设： $Q\left(x\right)=Q_m\left(x\right)={b_0x}^m+{b_1x}^{m-1}+\cdots+b_m$

求导并带入可解： $b_0,b_1,\cdots,b_m$ ，写出特解： $y\left(x\right)=Q\left(x\right)e^{\lambda x}$

② 情况2： $\lambda^2+p\lambda+q=0$ ； $2\lambda+p\neq0$

$Q\left(x\right)$ 是一个m次多项式，则可设： $Q\left(x\right)=xQ_m\left(x\right)=x\left({b_0x}^m+{b_1x}^{m-1}+\cdots+b_m\right)$

求导并带入可解： $b_0,b_1,\cdots,b_m$ ，写出特解： $y\left(x\right)=Q\left(x\right)e^{\lambda x}$

③ 情况3： $\lambda^2+p\lambda+q=0$ ； $2\lambda+p=0$

$Q\left(x\right)$ 是一个m次多项式，则可设： $Q\left(x\right)=x^2Q_m\left(x\right)=x^2\left({b_0x}^m+{b_1x}^{m-1}+\cdots+b_m\right)$

求导并带入可解： $b_0,b_1,\cdots,b_m$ ，写出特解： $y\left(x\right)=Q\left(x\right)e^{\lambda x}$

举例：

例1：m=1，λ=2；λ满足： $\lambda^2+p\lambda+q=0$ ， $2\lambda+p\neq0$

则通解一般形式可设为： $y\left(x\right)=x\left(Ax+B\right)e^{2x}$

例2：m=2，λ=0；λ满足： $\lambda^2+p\lambda+q\neq0$

则通解一般形式可设为： $y\left(x\right)=Ax^2+Bx+C$

三、微分方程例题

最后给出一道例题，巩固以上知识点

例题：求微分方程 $y\prime\prime-5y\prime+6y=xe^{2x}$

解析如下

第一步：求对应齐次通解

对应齐次方程： $y\prime\prime-5y\prime+6y=0$

特征方程： $r^2-5r+6y=0$ $\Rightarrow$ $r_1=2$ ， $r_2=3$

其中： $p=-5$ ， $q=6$ 所以： $p^2-4q=\left(-5\right)^2-4\times6=1>0$

则对应齐次通解： $Y\left(x\right)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}\ \left(C_1,C_2\in R\right)$

第二步：求对应非齐次特解

$xe^{2x}$ 属于 $P_m\left(x\right)e^{\lambda x}$ ，令： $m=1,\lambda=2$

由： $\lambda^2+p\lambda+q=2^2-5\times2+6=0$ ， $2\lambda+p=2\times2-5=-1\neq0$

则非齐次特解一般形式：

$y\left(x\right)=x\left(Ax+B\right)e^{2x}$ ……①

一阶导数： $y\prime\left(x\right)=\left[2Ax^2+2\left(A+B\right)x+B\right]e^{2x}$ ……②

二阶导数： $y\prime\prime\left(x\right)=2\left[2Ax^2+2\left(2A+B\right)x+A+B\right]e^{2x}$ ……③

将①②③代入原方程整理可得： $-2Ax+2A-B=x$

解得： $A=-\frac{1}{2}$ ， $B=-1$

则对应非齐次特解： $y\left(x\right)=-x\left(\frac{1}{2}x+1\right)e^{2x}$

第三步：写出原方程通解

$y=Y\left(x\right)+y\left(x\right)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-x\left(\frac{1}{2}x+1\right)e^{2x}\ \left(C_1,C_2\in R\right)$

若有不妥之处，恳请读者批评指正