BZOJ3437: 小P的牧场

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

CR1SceNT

最新推荐文章于 2020-01-13 20:23:43 发布

阅读量565

点赞数 1

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：斜率优化

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ep1C_HeReT1c/article/details/56017632

斜率优化专栏收录该内容

7 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种利用斜率优化技巧改进动态规划算法的方法。通过维护两个前缀和，可以将复杂度从O(n^2)降低到O(n)，适用于解决特定类型的最优化问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Portal

初始递推式：

f [i] = m i n (f [j] + \sum k = j + 1 i (i - k) * b [k] + a [i]

$f[i]=min(f[j]+\sum_{k=j+1}^i{(i-k)*b[k]}+a[i]$

= m i n (f [j] + i * \sum k = j + 1 i b [k] - \sum k = j + 1 i k * b [k] + a [i]

$=min(f[j]+i*\sum_{k=j+1}^i{b[k]}-\sum_{k=j+1}^i{k*b[k]}+a[i]$
维护两个前缀和

s u m [i] = \sum j = 1 i b [j]

$sum[i]=\sum_{j=1}^i{b[j]}$

p r e [i] = \sum j = 1 i j * b [j]

$pre[i]=\sum_{j=1}^i{j*b[j]}$
对于决策k优于决策j且k>j

f [k] + i * (s u m [i] - s u m [k]) - p r e [i] + p r e [k] + a [i] < f [j] + i * (s u m [i] - s u m [j]) - p r e [i] + p r e [j] + a [i]

$f[k]+i*(sum[i]-sum[k])-pre[i]+pre[k]+a[i]<f[j]+i*(sum[i]-sum[j])-pre[i]+pre[j]+a[i]$
化简后：

i > f [ k ] + p r e [ k ] - f [ j ] - p r e [ j ] s u m [ k ] - s u m [ j ]

$i>\frac{f[k]+pre[k]-f[j]-pre[j]}{sum[k]-sum[j]}$
显然可以斜率优化

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define INF 1000000000001
#define mod 1000000007
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,l,r;
int a[N],q[N],b[N];
ll sum[N],pre[N],f[N]; 

double slope(int j,int k){
    return (double)(f[k]+pre[k]-f[j]-pre[j])/(sum[k]-sum[j]);
}

int main()
{
    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+b[i],pre[i]=pre[i-1]+(ll)i*b[i];
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<i) l++;
        int t=q[l];f[i]=f[t]+(ll)i*(sum[i]-sum[t])-pre[i]+pre[t]+a[i];
        while(l<r&&slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}