BZOJ3156: 防御准备_防御准备csdn-优快云博客

本文详细介绍了如何使用斜率优化技巧解决一类特定的动态规划问题。通过数学推导验证了决策单调性，并给出了完整的C++代码实现，包括下凸壳构造和关键的斜率比较函数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

f [i] = m i n (f j] + (i - j - 1) * (i - j) / 2 + a [i])

$f[i]=min(fj]+(i-j-1)*(i-j)/2+a[i])$
对于k > j且k的决策优于j：

f [k] + (i - k - 1) * (i - k) + a [i] < f [j] + (i - j - 1) * (i - j) + a [i]

$f[k]+(i-k-1)*(i-k)+a[i]<f[j]+(i-j-1)*(i-j)+a[i]$
移项后：

i > f [ k ] + k ² + k 2 - f [ j ] - j ² + j 2 k - j

$i>\frac{f[k]+\frac{k²+k}{2}-f[j]-\frac{j²+j}{2}}{k-j}$
显然满足决策单调性，然后维护个下凸壳，斜率优化随便搞搞就好了

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define INF 1000000000001
#define mod 1000000007
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,l,r;
int a[N],q[N];
ll f[N]; 

double slope(int j,int k){
    return (double)(f[k]+(((ll)k*k+k)>>1)-f[j]-(((ll)j*j+j)>>1))/(k-j);
}

int main()
{
    n=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<i) l++;
        int t=q[l];f[i]=f[t]+(((ll)(i-t-1)*(i-t))>>1)+a[i];
        while(l<r&&slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}