生成函数进阶

可以先看这篇博客的生成函数和多项式部分。

在开头我们再次回顾生成函数定义：

一般生成函数（OGF）

一般用于处理组合问题（无标号）

$F(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{f}_i{x}^i$

OGF的运算

假设现在有两类组合对象$A,B$

首先考虑如何对它们取并

显然对于一个元素$t$，在$A$中出现了$a_t$次，在$B$中出现了$b_t$次，一共会出现$a_t+b_t$次

记为$C(x)=A(x)+B(x)$

那么对应标号的系数相加即可

然后考虑如何求它们的笛卡尔积

假设$A,B$笛卡尔积为$C$，那么表示$C$中每个元素$c$都是由$A$中的一个元素$a$和$B$中的一个元素$b$拼成的二元组$(a,b),|c|=|a|+|b|$

记为$C(x)=A(x)B(x)$

在生成函数为有限项的时候用$FFT/NTT$多项式乘法即可

OGF生成序列

现在有一类组合对象$A$，定义$seq(A)$ 是由$A$的元素排列成的序列组成的集
合，一个序列的大小定义为其元素大小总和。
e g 1 : A = { " 0 " , " 1 " } eg1:A=\{"0","1"\} eg1:A={ "0","1"}， s e q ( A ) = { a l l   01   s t r i n g } seq(A)=\{all\ 01\ string\} seq(A)={ all 01 string}
e g 2 : N ∗ = { 1 , 2 , 3 , . . . } eg2:N^*=\{1,2,3,...\} eg2:N∗={ 1,2,3,...}，元素的大小定义为它的数值，则 s e q ( N ) = { 正 整 数 的 有 序 拆 分 } seq(N)=\{正整数的有序拆分\} seq(N)={ 正整数的有序拆分}
规定A 中不含大小为0 的元素，则
$seq(A)=1+A+A^2+A^3+...=\frac{1}{1-A}$

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指数生成函数(EGF)

一般用于处理组合问题（有标号）
常见带标号的组合对象：标号图，置换
将两个元素$a,b$拼接起来，$|a|=n,|b|=m$
无标号时，只有一种方法；
带标号时，规定拼接时拼接对象内部相对标号顺序不变，而互相的标号
可以改变，则有$\frac{(n+m)!}{n!m!}=C_{n+m}^n$种方法

$F(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{f}_i\frac{x^i}{i!}$

EGF的运算

并集：$C(x)=A(x)+B(x)$
笛卡尔积：$C(x)=A(x)B(x)$
对比系数后很好理解

EGF生成序列

同$OGF$，$seq(A)=\frac{1}{1-A}$

EGF生成集合

集合与序列的区别：同样由$i$个$EGF$生成，集合的顺序不重要，序列的顺序确实确定的。
因此由$i$个$EGF$生成的集合应该有一个$\frac{1}{i!}$的系数。
$set(A)={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{A^i}{i!}=e^A$

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生成函数计数

置换计数

一个置换是由若干轮换组成的集合。
$k$轮换的个数有$(k-1)!$个，对应$EGF$为$(k-1)!\frac{x^k}{k!}=\frac{x^k}{k}$
于是全体轮换的$EGF={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{x^k}{k}$
设$f(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{x^k}{k}$
那么$f^{\prime }(x)={\sum }_{i=0}^{}$