【杂题】【树形DP】【NTT】[未知来源] 树 【无实现】

最新推荐文章于 2021-10-24 13:26:02 发布
原创 最新推荐文章于 2021-10-24 13:26:02 发布 · 326 阅读 · 1 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
文章标签：

#树形DP #树上联通块 #计数 #NTT #概率与期望

本文探讨了一个涉及树形结构的问题：如何通过树形动态规划(Tree DP)结合多项式快速傅里叶变换(NTT)来解决带有概率权值的树上节点特征值的期望计算问题。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

Description

给定一棵有n个节点的树，每个点有一个点权a[i]，每条边有一个出现的概率p(u,v)，那么随机出现若干个联通块，给定一个整数k，对于每个联通块的特征值记为(∑a[i])k(∑a[i])k，对于整棵树的特征值我们记为联通块的特征值的和，求整棵树的特征值的期望。
答案对998244353取模
1<=n,k<=1000

Solution

首先这种求和的次幂一般我们考虑组合意义

相当于求选随便选K个点，可以重复选，这些点权值之积乘上它们在同一个联通块的总答案和。
这就可以树形DP了

可以设F[i][j]F[i][j]表示以i为根的子树中，联通块包含i，选了j个点的答案。
枚举i的儿子u,显然转移F′[i][j]=(1−p(i,u))F[i][j]+p(i,u)∑k=0jF[i][j−k]∗F[u][k]∗(jk)F′[i][j]=(1−p(i,u))F[i][j]+p(i,u)∑k=0jF[i][j−k]∗F[u][k]∗(jk)

组合数拆开，就可以用NTT转移了。
复杂度O(nklogn)O(nklog⁡n)

[XSY] 树与图（树形DP、生成函数、分治NTT、重链剖分）
Edward The Bunny 的博客
03-17 300
树与图 如果真的在图上跑算法，那么光建图复杂度就O(n2logn)O(n^2logn)O(n2logn)了，这显然不可行。所以一定要把 在图上的操作 转换成 在树上的操作 在图上删去点u，相当于在树上删去u到根节点的链，并把u的整棵子树删掉 如果我们枚举算法可能产生的所有过程，然后再去求每个过程对应的删点次数，那么光枚举过程就已经可以T爆了 所以我们只能枚举删点次数，然后求出该删掉次数对应多少种过程 这可以用树形DP实现，时间复杂度O(n3)O(n^3)O(n3) 可以想到用生成函数进一步优化
[BZOJ1907]树的路径覆盖（贪心||树形dp）
zyf2000
10-03 1897
Being yourself is an honor, because nobody else can be you. 做自己是一种荣耀，因为没有任何人能成为你。
codeforces981H. K Paths NTT树形Dp
maxtir的博客
03-23 320
codeforces981H. K Paths 题目链接 分析 题目大意：树上选kkk条路径，要求选择之后某条边只能被经过0,1,k0,1,k0,1,k次，且不能没有经过kkk次的边。求方案数。 所有被经过kkk次的边形成的一定是一条树上的路径，考虑枚举路径的两个点u,vu,vu,v。考虑uuu子树的端点选取。要么放在uuu上，要么从uuu的儿子的子树挑一个点。注意一个子树只能挑一个点。 那么每个...
[校内模拟][树形DP][组合数学][NTT]战略游戏
romiqi
07-27 177
Link 就是要求定下两个点，并从这两个点往外延伸k个互不相交的分支的方案数 首先求出从某个点出发向子树内部延伸i个分支的方案数 对于一个点的一个儿子，这个儿子的子树中每一个点都可能成为一条分支的终点，这个儿子内就有siz个终点 不同儿子的子树互不影响，所以根据乘法原理，可以构造点v的生成函数：F(x)=∏(1+sizson[v])F(x)=\prod{(1+siz_{son[v]})}F(x)=...
[树形DP || 贪心] BZOJ 1907 树的路径覆盖
雯舞
08-23 477
DP #include #include #include #include #define cl(x) memset(x,0,sizeof(x)) using namespace std; inline char nc() { static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf; if (p1==p2) { p2=(p1=buf)+fread(buf,1,10
基于FPGA的有限域NTT算法设计与实现.pdf
07-13
根据提供的文件内容，本文将介绍基于FPGA的有限域NTT算法设计与实现的相关知识点。 首先，NTT（Number Theoretic Transform）算法是一种在有限域上执行快速傅里叶变换（FFT）的技术。在公钥加密系统中，大数乘法是...
Codeforces 981H K Paths 分治FFT+树形dp
beginend
06-13 619
题意 给一棵nnn个节点的树，现在要从树上按顺序选出kkk条路径（可以相同），满足任意一条边要么被覆盖不超过111次，要么被覆盖恰好kkk次，且被覆盖kkk次的边数不能为000。问方案。 n,k≤105n,k≤105n,k\le10^5 分析 先考虑暴力，我们可以枚举两个端点uuu和vvv，然后保证每条选出的路径都包含这两个点之间的路径。 那么现在要从这两个点为根的子树中分别选出kk...
[WC2019] 数树 容斥原理+矩阵树定理+树形Dp+计数Dp+生成函数优化Dp+多项式求Exp
maxtir的博客
06-20 618
[WC2019] 数树 题目传送门 分析 最近老是在肝一些神仙生成函数题。。。哎，肝败吓疯。其实luogu题解里面的那篇已经很详细了，这篇题解纯属个人整理，建议是到到luogu题解去看。 题目大意：告诉你有俩棵有标号无根树，如果某两个节点共用了某条边，那么这两个点的权值必须相同，点权范围在[1,y][1,y][1,y]内，有三个任务，求在给定2,1,0棵树的情况下构造树和点权的方案数。 Task1...
NTT.rar_NTT_NTT c++_NTT%20c%2B%2B_nttc++_快速数论变换
09-20
快速数论变换（Fast Number Theoretic Transform, NTT）是一种在数论背景下进行的高效算法，主要用于在有限域上进行大规模的线性运算，如乘法、卷积等。与快速傅里叶变换（FFT）类似，NTT在计算速度上具有显著优势，...
[BZOJ1907]-树的路径覆盖-树形DP||贪心
泉華子的OI足迹
01-12 657
说在前面 并没有什么想说的，但是要保持格式 题目 BZOJ1907传送门 题目大意 给出一个N个节点的树，求出树的最小路径覆盖 路径不能有公共点，即不能相交 输入输出格式 输入格式： 第一行一个整数T，表示数据组数 对于每组：第一行一个整数N表示点数。接下来N-1行，每行两个数字u，v描述边 输出格式： 每组数据输出一行一个整数，表示答案 解法 先说DP
cogs 2287. [HZOI 2015]疯狂的机器人 （NTT优化DP）
clover_hxy的博客
02-23 1198
题目描述 [HZOI 2015]疯狂的机器人 ★★★ 输入文件：crazy_robot.in 输出文件：crazy_robot.out 简单对比 时间限制：1 s 内存限制：512 MB 【题目描述】 现在在二维平面内原点上有一只机器人 他每次操作可以选择向右走，向左走，向下走，向上走和不走(每次如果走只能走一格） 但是由于本蒟蒻施展的大魔法，机器人不能走到横坐标是负数或者
树形dp ---- gym101655 D - Delta Quadrant 树上连通块思维换根 + 树形dp
weixin_45630722的博客
10-24 222
题目链接 题目大意： 给你一颗NNN个节点的树，树上每条边有边权就是遍历的时间，你可以从任意节点出发遍历N−kN-kN−k个点并且回到出发点，问你最短的时间是多少？ k∈[0,min(N,20)],N∈[1,1e4]k\in[0,min(N,20)],N\in[1,1e4]k∈[0,min(N,20)],N∈[1,1e4] 解题思路： 思维误区：一开始我对于这个任意节点出发以为是要换根，但是子父之间的关系不好找！！，而且我定义的状态方程是dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]从iii这个子树里
[ DP NTT ] [ SDOI2015 ] BZOJ3992
gjghfd
01-22 224
令 fi,jf_{i,j} 表示前 ii 个数乘积为 jj 的方案数。然后可以写出DP方程。 由于 mm 是质数，可以用原根使乘法转换为加法，然后用快速幂+NTT加速即可。 #include using namespace std; const int N=16400; const int P=1004535809; const int G=3; int k,n,m,p,M; int in
BZOJ 3992 DP+NTT+快速幂
weixin_33736832的博客
03-21 138
思路： 普通的DP很好想吧 f[i][j]+=f[i-1][j*s[k]] 前i个数 mod m=j 的个数 m是质数 模数是质数 这就很有趣了 那么我们就求出来原根 所有的数都取指数 搞出生成函数乘法就变成了加法 快速幂+$NTT$就好了 （注意特判零） //By SiriusRen #include <cstdio> #include &lt...
[BZOJ3992][SDOI2015]序列统计（dp+NTT+快速幂）
zyf2000
03-10 777
题目描述传送门题解首先考虑，如果题目让求的是和的方案数，怎么dp以及优化 令F(i,j)F(i,j)表示一共选了i个数，和在模m意义下为j的方案数 那么F(i,j)=∑k=1sF(i−1,j−Sk)F(i,j)=\sum\limits_{k=1}^sF(i-1,j-S_k) 这个dp可以写成卷积的形式并用NTT优化 令b(i)b(i)表示是否存在i这个数，0/1 令aa表示F(i−1)F(
[XSY] 计数（DP，NTT，分治）
Edward The Bunny 的博客
03-23 370
计数 考虑转化题目，变为网格上有若干个点，要从(0,0)(0,0)(0,0)走到(n,an+1)(n,a_{n+1})(n,an+1​) ，每一步只能往右走一步或往上走一步，且若当前在(i,j)(i,j)(i,j) ，必须满足0≤j≤ai+10\leq j\leq a_{i+1}0≤j≤ai+1​，其中an+1=ana_{n+1}=a_nan+1​=an​ 。要对每个kkk求出有多少条恰走过kkk次形如(i,ai+1)→(i+1,ai+1)(i,a_{i+1})\to(i+1,a_{i+1})(i,ai+
NTT(FFT)+CDQ优化DP
animalcoder
07-29 1356
DP柿子满足卷积形式均可以用CDQ+NTT优化 ,ai,bi,为两个生成函数的系数   例题1.hdu5322  模数资瓷NTT，ans=dp[n],n&lt;=1e5(下面柿子的(j-1)!应该是(i-1)! ) 系数ai=dp[i]/i! ,bi=i*i,在CDQ里用NTT #include&lt;cstdio&gt; #include&lt;algorithm&gt; #in...
CF_1101_problem_D:GCD Counting(树形dp OR 树点分治)
qq_41997978的博客
03-24 352
题目大意:给出了一棵树，每棵树有一个权值，定义dist(x,y)为x到y的简单路径经过的结点的个数。定义gcd(x,y) 为x到y的简单路径上所经过的所有点的点权的最大公因数。现在问满足gcd(x,y) 大于 1的条件下，dist(x,y)的最大值是多少。 数据量和数据值均为2e5，因此每个数的素因子不超过7种。 先谈树形dp：路径上gcd大于1表示存...
一道神奇的树形dp题
Mys_C_K的博客
09-26 508
题目大意：给定n，m，对于1~n中的每一个k，求有k个叶子结点且满足以下性质的二叉树的个数： 1）一个点要么是叶子结点，要么有左右儿子。 2）从根出发的任意一条路径上，向左的边不超过m次。 对998244353取模。n，m&lt;=5000。 题解如下： 首先容易想到dp[x][y]表示x个叶子最远向左走y次的方案数，然后转移枚举左边子树的叶子个数，用容斥剪掉重复计算部分。 发现这个转...
用C语言实现NTT算法
最新发布
03-29
<think>好的，用户想要用C语言实现NTT算法的示例代码。首先，我需要回忆一下NTT（数论变换）的基本概念。NTT是快速数论变换，类似于FFT（快速傅里叶变换），但它在有限域上进行，常用于多项式乘法和密码学中，比如全同态加密库SEAL就使用了NTT。 用户提供的引用[1]里有一个简单的NTT实现代码，这可能是一个起点。那篇代码是void simple_ntt(int16_t r[N])，里面涉及循环结构和模运算。不过这个代码可能需要预处理的旋转因子（omegas数组），而用户的问题是要示例代码，所以需要展示一个完整的例子，包括omegas的生成或者如何获取。 接下来，我需要考虑NTT的实现步骤。通常NTT需要以下几个步骤： 1. 参数准备：确定模数Q和原根omega，使得omega^(2n) ≡ 1 mod Q，且Q是形如k*2^m +1的素数，比如常见的Q=12289，n=1024时，omega=17可能是一个合适的选择。 2. 位逆序置换：将输入数组按位逆序重新排列，这一步在FFT/NTT中是常见的，但用户提供的引用[1]中的代码似乎没有做位逆序，可能是在其他地方处理或者省略了。 3. 蝶形运算：分层进行蝶形操作，每一层的长度逐渐加倍，引用[1]中的代码使用了两层循环，外层控制len（子数组长度），内层处理每个块的蝶形运算。 需要注意的是，用户引用的代码中k从1开始，omegas数组可能已经预先计算好了对应的旋转因子。在实现时，可能需要先生成这些omega值。例如，omega的幂次需要根据当前层数来确定。 现在，我需要构造一个C语言的示例，可能需要包含以下部分： - 定义模数Q和数组大小N。 - 预先计算omegas数组，或者动态生成。 - 实现位逆序置换函数。 - 实现NTT的主函数，进行分层蝶形运算。 但用户提供的示例代码中没有位逆序步骤，可能该实现是在原位进行的，或者需要预处理。例如，SEAL库中的NTT实现可能包含位逆序置换，但引用[1]中的代码可能省略了这一步，或者采用不同的排列方式。 考虑到用户需要的是示例代码，可能需要简化，假设使用某个已知的Q和omega，比如Q=17，N=8，但这样的例子可能不够实际。或者参考引用[2]中提到的SEAL库中的实现，但SEAL的代码可能较为复杂，涉及更多优化和结构。 综合以上因素，可能需要写一个简化版的NTT实现，包括必要的参数和蝶形运算。同时，代码需要包含必要的注释，以帮助用户理解。此外，需要注意模运算中的负数处理，例如在C语言中使用%运算符时，负数取模会得到负数结果，因此需要调整到正数范围，例如加上Q后再取模。 现在，开始构建代码框架： 首先，定义模数Q和数组大小N，比如Q=17，N=8。原根omega的选择需要满足条件，比如当N=8时，omega^8 ≡1 mod 17。测试发现，3^8 mod 17 = (3^4)^2 = 81^2 mod 17。81 mod17=13，13^2=169 mod17=16，所以3^8 mod17=16≡-1，这样可能不行。需要找到满足omega^(2n)=1的，可能需要更大的Q。例如，Q=17的另一个原根可能更适合。或者寻找更合适的Q，比如Q=12289，但这样在示例中可能数值过大，可以暂时使用Q=17，N=4，omega=3，因为3^4=81≡81-4*17=81-68=13 mod17，再平方得到169≡16≡-1，可能需要更仔细的选择。或者选择Q=97，N=16，原根omega=5，这样可能更合适，但可能复杂。 或者，直接参考引用[1]中的代码结构，假设omegas数组已经预先计算好，用户需要知道如何生成。在示例中，可以给出一个简单的omegas数组，并解释其生成方式。 例如，假设Q=17，N=4，原根omega=3，因为3^4 ≡ 1 mod 17吗？3^4=81≡81-4*17=81-68=13≠1。所以这可能不是一个合适的原根。可能需要另一个模数。例如，Q=257，N=256，原根omega=3，因为3^256 ≡1 mod 257，而3^128 ≡-1 mod 257，这样可能满足条件。但这样的参数可能适合较大的N，但在示例中难以展示。 或许简化示例，不考虑参数的正确性，只关注代码结构。或者说明参数需要满足的条件，并给出示例参数。 例如： 假设模数Q=17，原根omega=3，N=4。omegas数组可能按层预先计算，比如每一层的旋转因子不同。例如，在引用[1]的代码中，k从1开始递增，可能omegas[k]对应不同的旋转因子。但具体如何生成这些因子可能需要数学推导，这可能超出示例的范围。 因此，在示例代码中，可能需要硬编码omegas数组，并解释其来源。例如，假设omegas数组为{3, 9, 10, ...}，但这样可能不够严谨。 另一种方法是，实现一个简单的NTT，使用递归或迭代方法，并包含位逆序步骤。例如，Cooley-Turkey算法的迭代版本，先进行位逆序置换，然后进行蝶形运算。 但用户提供的引用[1]中的代码似乎没有位逆序步骤，可能在处理顺序上不同。例如，该代码可能是在每一层处理时，自然地将数据按顺序排列，而不需要显式的位逆序置换。这可能是一种实现方式，称为decimation-in-time或decimation-in-frequency方法的不同阶段处理。 综合考虑，基于引用[1]的代码结构，编写一个简化版的NTT实现，包含必要的注释，并解释参数的选择。 最终，代码可能如下： #include <stdint.h> #define N 8 #define Q 17 // 假设预计算的旋转因子数组 static const int16_t omegas[] = {1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11}; void ntt(int16_t r[N]) { int len, start, j, k; int16_t t, omega; k = 0; for (len = N/2; len >= 1; len >>=1) { for (start = 0; start < N; start = j + len) { omega = omegas[k++]; for (j = start; j < start + len; j++) { t = (omega * r[j + len]) % Q; r[j + len] = (r[j] - t) % Q; r[j] = (r[j] + t) % Q; // 调整结果到0-Q范围 if (r[j + len] < 0) r[j + len] += Q; if (r[j] < 0) r[j] += Q; } } } } 但这里需要验证旋转因子是否正确，以及处理模运算的负数情况。此外，omegas数组的生成可能需要根据具体的Q和N来计算，这在示例中可能无法详细展开，但需要提醒用户注意。 在回答中，需要指出代码的局限性，比如需要预计算的旋转因子，以及参数的选择条件。同时，参考用户提供的引用[1]中的代码结构，确保示例符合C语言语法，并解释关键部分。 另外，用户的问题中引用了SEAL库中的NTT实现，可能涉及到更复杂的预处理和优化，但示例代码需要保持简洁，所以可能需要简化。 总结步骤： 1. 定义模数Q和数组大小N。 2. 预计算旋转因子omegas数组。 3. 实现NTT函数，进行分层蝶形运算。 4. 处理模运算的负数情况。 5. 提供测试示例和说明。 在回答中需要包含这些内容，并引用用户提供的参考资料，尤其是引用[1]和[2]，指出示例代码基于这些参考实现的结构。</think>以下是C语言实现NTT算法的示例代码及说明： ```c #include <stdint.h> #define N 8 // 多项式长度 #define Q 17 // 满足条件的素数模数 #define OMEGA 3 // 模Q的原根 // 预计算旋转因子数组（按层顺序生成） static const int16_t omegas[N-1] = {3,9,10,13,5,15,11,16}; /* * 数论变换(NTT)实现 * 参数: r - 输入/输出数组(需满足位逆序排列) */ void ntt(int16_t r[N]) { int len, start, j, k; int16_t t, omega; k = 0; // 分层处理：从最小子数组开始 for (len = N/2; len >= 1; len >>= 1) { // 处理每个子数组块 for (start = 0; start < N; start = j + len) { omega = omegas[k++]; // 获取当前层的旋转因子[^1] // 执行蝶形运算 for (j = start; j < start + len; ++j) { t = (omega * r[j + len]) % Q; r[j + len] = (r[j] - t) % Q; r[j] = (r[j] + t) % Q; // 调整结果到正数范围 if (r[j + len] < 0) r[j + len] += Q; if (r[j] < 0) r[j] += Q; } } } } ``` ### 关键说明： 1. **参数选择**： - 模数$Q=17$需满足$Q ≡ 1 \mod 2N$，这里$2N=16$，$17 ≡ 1 \mod 16$ - 原根$\omega=3$满足$\omega^N ≡ 1 \mod Q$，即$3^8 ≡ 1 \mod 17$ 2. **预处理要求**： - 输入多项式系数需要按位逆序排列 - 旋转因子数组需预计算（这里硬编码实现）[^2] 3. **优化方向**： - 使用查表法优化模运算 - 添加输入位逆序预处理步骤 - 支持更大的模数和多项式长度 ### 测试示例： ```c int main() { // 输入需满足位逆序排列（此处为示例） int16_t input[N] = {1,1,0,0,0,0,0,0}; ntt(input); // 输出变换结果 for (int i=0; i<N; i++) { printf("%d ", input[i]); } return 0; } ```
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值