矩阵的秩与迹

记得第一次看到“矩阵的迹”这个概念的时候就怀疑是不是作者的拼写错误，将“矩阵的秩”写成“矩阵的迹”了。实际上，它们是两个完全不同的两个概念。

矩阵的迹

数学定义：n×n矩阵A的对角线元素之和称为A的迹（trace），记作tr(A)，即有：

$tr(A)=a_{11}+...+a_{nn}=\sum_{i=1}^n a_{ii}$

矩阵的迹有如下重要性质：

$tr(UV)=tr(VU)$

根据以上性质，若分别令U=A，V=BC和U=AB，V=C，则有：

$tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$

请思考： $tr(ABC)=tr(CBA)$ ?

类似地，若分别令U=A，V=BCD，U=AB，V=CD，及U=ABC，V=D，则有：

$tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDBA)=tr(DABC)$

请思考： $tr(ABCD)=tr(DCBA)$ ?

这些性质在机器学习的算法中会用到。

矩阵的秩

矩阵$A_{m×n}$的秩定义为该矩阵中线性无关的行数和列数。

秩的性质：

• 秩是一个正整数。
• 秩等于或小于矩阵的行数和列数。
• 当n×n矩阵A的秩等于n时，则称A是非奇异矩阵，或称A满秩。
• 若$rank(A_{m×n})<min\{m,n\}$，则称A是秩亏缺的。
• 若$rank(A_{m×n})=m（<n）$,则称矩阵A具有满行秩。
• 若$rank(A_{m×n})=n（<m）$,则称矩阵A具有满列秩。
• 任何矩阵A左乘满列秩矩阵或者右乘满行秩矩阵后，矩阵A的秩保持不变。

参考：

《矩阵分析与应用》（第二版） 张贤达