数学术语——留数(residue)

原创于 2025-10-10 15:03:37 发布 · 1k 阅读

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#复分析 #数论 #留数

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留数(Residue)

1. residue的词源

这个词始于14世纪，词义为“剩余部分(remainder)，取走一部分后剩下的部分，” 来自古法语 “residu”(14世纪)，其又来自拉丁语“residuum ”,词义为“余项，留在后面的，” 形容词“residuus ”的名词中性用法，这个词又派生自“residere”，词义为“保留在后面”(见reside)。

2. residue引入数学中的情况

Cauchy引入了这个概念，并在他的文章中使用了术语“résidue”(<<关于一种类似于无穷小微积分的新型微积分>>( Sur un nouveau genre de calcul analogue au Calcul infinitesimal),数学习题(Exercices de Mathématiques)(1826年)，其作品的第二辑第六卷(Oeuvres 2e sér.. Tome VI.)中的第23-35页。) (F. Smithies 的Cauchy与复函数理论的创立)( F. Smithies Cauchy and the Creation of Complex Function Theory)。《牛津英语辞典》(OED)中最早的引文来自 A. R. Forsyth 的《函数论》(Theory of Functions)第 223 页(1893 年)“双周期函数相对于基本周期平行四边形的留数之和为零”(The sum of the residues of a doubly-periodic function relative to a fundamental parallelogram of periods is zero)。

Gauss 在数论(number theory)中引入了这个术语，见<<算术研究>>(1801年，第 9 页)( Disquisitiones arithmeticae (1801, p. 9)):

“Si numerus a numerorum b, c differentiam metitur, b et c secundum a congrui dicuntur, sin minus, incongrui; ipsum a modulum appelamus. Uterque numerorum b, c priori in casu alterius residuum, in posteriori vero nonresiduum vocatur.
[If a number a measure the difference between two numbers b and c, b and c are said to be congruent with respect to a, if not, incongruent; a is called the modulus, and each of the numbers b and c the residue of the other in the first case, the non-residue in the latter case.]”(如果一个数 a 度量两个数 b 和 c 之间的差，则称 b 和 c 相对于 a 同余，否则，不同余；a 称为模数，前者是 b 和 c 的留数，后者是非留数。)

Residue(留数)一词自14世纪以来便出现在英语中，并于15世纪成为一个数学词汇，但它最初的含义是余数(留数)。《牛津英语辞典》中首次以现代数论意义提及该词的文献是H. J. S. Smith在《英国众议员高级科学》(Brit. Assoc. Adv. Sci)1859年第231期上发表的一篇关于数论的报告。

留数类(residue class)一词出现在1948年Oystein Ore所著的《数论及其历史》(Number Theory and Its History)中：“由于这些数除以m后，余数r相同，因此我们称它们构成一个留数类(模 m)”[OED]。JSTOR搜索找到了一篇Edward Kircher 发表于1915年的文章，题为《某些Kronecker模系统留数类的群性质及其在数论中的一些相关推广》(Group Properties of the Residue Classes of Certain Kronecker Modular Systems and Some Related Generalizations in Number Theory)，载于《美国数学学会汇刊》(Transactions of the American Mathematical Society)，第16卷，第4期(10月)，第413页。然而，这个德语术语其实早在很久以前就被创造出来了。

3. 数学定义

在数学中，术语“residue”在不同的背景下有不同的含义。但最常见的是指复分析中与一个函数奇点(singularity)相关的一个复数，或者模运算中的一个余数(remainder)。在复分析中，留数是一个函数在奇点 $z_{0}$ 处按 Laurant 级数展开的展式中项 $(z-z_{0})^{-1}$ 的系数，且这对于通过留数定理计算周线积分或围道积分(contour integral)至关重要。而在数论中，留数是指当一个整数被另一个整数整除时的余数(remainder)，又称为模数(modulus)。

3.1 在复分析中的定义

(1) 定义

一个复函数 f (z) 在一个孤立奇点 $z_{0}$ 处的留数是其 Laurant 级数围绕 $z_{0}$ 的展开式中 $(z-z_{0})^{-1}$ 这一项的系数 $a_{-1}$ 。

若一个函数 f (z) 可以在 $z_{0}$ 处表示成Laurant 级数展开式

$\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ ,

则其在 $z_{0}$ 处的留数为

$\displaystyle \text{Res}( f, z_{0}) = \frac{1}{2{\pi}i} \oint_{\gamma}^{}f(z)dz = \frac{1}{2{\pi}i} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \oint_{\gamma}^{}a_{n} (z-z_{0})^{n}dz = a_{-1}$ 。