高等数学笔记-乐经良老师-第四章-微分中值定理和导数的应用-第三节-泰勒公式

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于 2022-04-24 05:40:19 首次发布

"本文详细介绍了微分中值定理下的泰勒公式，包括一点附近的泰勒公式和区间上的泰勒公式，以及麦克劳林公式。特别地，讨论了e^x、sinx、cosx、(1+x)^alpha和ln(1+x)的麦克劳林展开，并展示了如何利用泰勒公式解决极限问题。文章强调了泰勒公式在求解复杂函数和近似计算中的重要应用。"

高等数学笔记-乐经良

第四章微分中值定理和导数的应用

第三节泰勒公式

一、一点附近的泰勒公式

一点附近的泰勒公式
- $f (x)$ 在 $x_{0}$ 附近定义, 且在 $x_{0}$ 有 $n$ 阶导数，则
  
  $f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$
  
  $o((x−x0)n)o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)$ ——皮亚诺余项
注意：条件相当弱，只要在 $x_0$ 一点有 $n$ 阶导数即可

二、区间 $(a, b)$ 上的泰勒公式

区间 $(a, b)$ 上的泰勒公式
- $f (x)$ 在 $(a, b)$ 有 $n + 1$ 阶导数, $x0∈(a,b)x_{0} \in(a, b)$ , 则在 $(a, b)$ 成立，则
  
  $=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}+R_{n}(x)$
  
  其中， $Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}$ ， $ξ\xi$ 在 $x, x_{0}$ 之间

三、麦克劳林公式

01 麦克劳林公式

$f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)$ ，

$Rn(x)=f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(θ∈(0,1))R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1) !} x^{n+1} \quad(\theta \in(0,1))$ 或 $o(xn)o\left(x^{n}\right)$

02 常用的麦克劳林公式

$f(x)=e^{x}$
- $ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+eθxxn+1(n+1)!e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+\frac{e^{\theta x} x^{n+1}}{(n+1) !}$
$f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x$
- $sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)k−1x2k−1(2k−1)!+(−1)ncos⁡θx(2n+1)!x2n+1\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2 k-1}}{(2 k-1) !}+(-1)^{n}\frac{\cos\theta x}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}$
$f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x$
- $cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯+(−1)k−1x2k−2(2k−2)!+(−1)n+1cos⁡θx(2n+2)!x2n+2\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots+(-1)^{k-1} \frac{x^{2k-2}}{(2 k-2) !}+(-1)^{n+1}\frac{\cos\theta x}{(2 n+2) !} x^{2 n+2}$
$f(x)=(1+x)αf(x)=(1+x)^{\alpha}$
- $(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+o(xn)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+o\left(x^{n}\right)$
$f(x)=ln⁡(1+x)f(x)=\ln (1+x)$
- $ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)n−1xnn+(−1)nxn+1∣(n+1)(1+θx)\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+(-1)^{n} \frac{x^{n+1} \mid}{(n+1)(1+\theta x)}$

四、泰勒公式的应用

泰勒公式求极限
- 当分子或分母阶数已定时，展至该项。
- 当分子或分母阶数不定时，展易展项确定阶数。

最后

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