noip真题：求和——数学推导详解 c++

noip真题：求和——数学推导

题目描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了$n$个格子，格子编号从$1\sim n$。每个格子上都染了一种颜色$colo{r}_i$（用$1\sim m$当中的一个整数表示），并且写了一个数字$numbe{r}_i$。

定义一种特殊的三元组：$(x,y,z)$，其中$x,y,z$都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：
$$\begin{gathered} x,y,z都是整数，x<y<z，y-x=z-y \\ colo{r}_x=colo{r}_z \end{gathered}$$​
满足上述条件的三元组的分数规定为$(x+z)\times (numbe{r}_x+numbe{r}_z)$。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。
这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分除以$10007$所得的余数即可。

输入格式

第一行是用一个空格隔开的两个正整数$n,m$，$n$代表纸带上格子的个数，$m$代表纸带上颜色的种类数。
第二行有$n$个用空格隔开的正整数，第$i$个数字$numbe{r}_i$​，代表纸带上编号为$i$的格子上面写的数字。
第三行有$n$个用空格隔开的正整数，第$i$个数字$colo{r}_i$​代表纸带上编号为$i$的格子染的颜色。

输出格式

一个整数，表示所求的纸带分数除以$10007$所得的余数。

输入样例1

6 2
5 5 3 2 2 2
2 2 1 1 2 1

输出样例1

82

样例1解释

纸带如题目描述中的图所示。
所有满足条件的三元组为：$(1,3,5),(4,5,6)$。
所以纸带的分数为$(1+5)\times (5+2)+(4+6)\times (2+2)=42+40=82$

输入样例2

15 4
5 10 8 2 2 2 9 9 7 7 5 6 4 2 4
2 2 3 3 4 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1

输出样例2

1388

数据范围

对于第$1\sim 2$组数据，$1\le n\le 100,1\le m\le 5$
对于第$3\sim 4$组数据，$1\le n\le 3000,1\le m\le 100$
对于第$5\sim 6$组数据，$1\le n\le 100000,1\le m\le 100000$，且不存在出现次数超过$20$的颜色；
对于全部$10$组 数 据 ， $1\le n\le 100000,1\le m\le 100000,1\le colo{r}_i\le m,1\le numbe{r}_i\le 100000$

题目解答

这是一道noip真题。像我这样的蒟蒻一看到数据想也没想就直接来了一发暴力，还真骗了不少分数。

• 首先分析发现，三元组$(x,y,z)$其实与$y$无关，只需枚举$x$和$z$即可
• 由于需要使$y$到$x$和$z$的距离都相等，即$y-x$为偶数即可
• 于是发现$x$和$z$需要同奇同偶才能构成

按以上思路的一份骗分代码，能直接拿到$50$分。由于题目提示我们颜色出现的次数，可以想到借助$vector$分类。

• 直接根据颜色分类可得$80$分！
• 在根据奇偶分可得到$90$分！！！

说实话，数据挺水的
可是，虽身为蒟蒻但仍然是要追求满分啊！“愚者千虑，必有一得”，在七七四十九天的反复思索与搜索。终于通过一种数学的方法解决了此题，也成就了这篇博客。首先，我们先对题目里提供的式子下手：

• $(x+z)\times (numbe{r}_x+numbe{r}_z)$根据乘法分配律可以转换成$x\times numbe{r}_x+$