二分答案求最大单位价值_算法题单位价值最高的-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Codesharks/article/details/124305085

该博客介绍了一道关于海盗分宝的数学问题，通过二分答案的方法寻找最大化价值与重量比的解决方案。博主详细解析了如何构建检查函数，并提供了AC代码实现，最后邀请读者对文章内容进行评价。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

海盗头子普朗克在珍宝岛上找到一批宝物，宝物有 $n$ 件，第 $i$ 件宝物的价值为 $c_i$ ，重量为 $w_i$ 。普朗克想取其中的 $k$ 件宝物，使得这些宝物的价值之和除以重量之和（实数除法）达到最大。请帮他求出这个最大值。

输入格式

第一行两个正整数 $n, k$ 。
接下来 $n$ 行，每行两个正整数 $c_i,w_i$ 。

输出格式

一个数，即你所求出的最大值，保留四位小数。

输入样例

输出样例

2.4000

样例解释

选择第一个和第三个宝物，价值之和除以重量之和 $\div (2+3)=2.4$ ，达到最大。

输入样例2

输出样例2

2.0149

数据范围

对于 $100%100\%$ 的数据， $\leq n, c_i, w_i \leq 10^5$ ，保证答案不超过 $10^9$ 。

题目解答

这竟然是一道二分答案题，~~作为蒟蒻的我第一次做时竟然没有看出来~~。首先我们应该想如何写每次二分时的 check 函数：

假设我们当前二分枚举到的值为 $ans\text{ans}$ ，选的 $k$ 个物品价值之和为 $∑ci\sum c_i$ ，重量之和为 $∑wi\sum w_i$ ，那么求如下式子的真假即可：
$\dfrac{\sum c_i}{\sum w_i} \geq \text{ans}$
不妨对它进行变换：
$\begin{aligned} & \dfrac{\sum c_i}{\sum w_i} \geq \text{ans} \\ = & \sum c_i \geq \text{ans} \times \sum w_i \\ = & \sum c_i - \sum (\text{ans} \times w_i) \geq 0 \\ = & \sum (c_i - \text{ans} \times w_i) \geq 0 \end{aligned}$
只要我们每次将 $ci−ans×wic_i - \text{ans} \times w_i$ 的值降序排序，取前 $k$ 个元素，看它们的和是不是大于 $0$ 即可，时间复杂度 $\log n \log ( \sum w_i) )$ 。代码如下：

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, c[100005], w[100005];
double l, r, arr[100005];

bool check(double x)
{
    double res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        arr[i] = c[i] - w[i] * x; // 计算ci - wi * x
    sort(arr + 1, arr + n + 1, greater<double>()); // 降序排序
    for (int i = 1; i <= k; i++) // 累加前k个数
        res += arr[i];
    return res >= 0;
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d %d", c + i, w + i);
        r += c[i];
    }
    while (r - l > 1e-6) // 二分答案
    {
        double mid = (l + r) / 2.0;
        if (check(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid;
    }
    printf("%.4lf", l);
    return 0;
}