NO.10数据结构图|Prim算法|Kruskal算法|Dijkstra算法|Floyd算法|拓扑排序|关键路径

图的基本应用

最小生成树

定义

生成树： 生成树是针对无向连通图而言的， 如果一棵树包含一个无向连通图的所有顶点， 那么我们把它叫做这个图的生成树。 （如我们之前提到的深度优先生成树和 广度优先生成树）
生成树有以下性质：

1. 这棵树是一个连通图。
2. 如果去掉这棵树的一条边， 它会变成非连通图。
3. 如果增加一条边， 会形成图中的一条回路。
   生成树示意图：
   

最小生成树： 对于一个带权连通无向图 G = (V， E)， 生成树不同， 每棵树的权（即树中所有边上的权值之和） 也可能不同， 我们把权值最小的那棵树叫做该图的最小生成树。
如图， 生成树 1 和生成树 2 都是最小生成树。

由上图我们可以知道， 最小生成树不唯一， 但权值唯一。
当图中各边权值互不相等 --> 其生成树唯一（反之不成立） 。
(因为图当中权值相等的边不一定会变成最小生成树的一部分)
通常我们可以用两种方法得到最小生成树： Prim 算法和 Kruskal 算法

Prim 算法

Prim 算法构造最小生成树的算法思路是：

1. 维护一个集合 s， 初始为空；
2. 从图中任选一点， 加入集合 s；
3. 如果图中所有结点都已经在集合 s 中， 则算法结束， 集合中的点和边共同组成该图的最小生成树； 否则， 进入第 4 步；
4. 从图中选择一个到当前集合 s 中的结点距离最近的结点， 连同这条边加入到集合 s 中， 到第 3 步。

算法过程示意

算法时间复杂度

每个轮次都需要从图中选择一个到当前集合 s 中的结点距离最近的结点，需要进行|V|个轮次， 所以 Prim 算法的时间复杂度为 O(|V|^2)， 不依赖于|E|， （其中|V|指图中顶点的个数， |E|指图中边的个数） ， 所以该算法适用于求解边稠密的图的最小生成树。

Kruskal 算法（克鲁斯卡尔算法）

Kruskal 算法构造最小生成树的思路是：

1. 维护一个集合 s， 将图中所有顶点加入集合 s。
2. 集合中的点和边会构成若干个连通分量（初始时， 每个顶点都是一个单独的连通分量） 。
3. 若集合中只有一个连通分量， 则算法终止， 该连通分量就是这个图的生成树； 否则到第 4 步。
4. 从当前未选取过的边中， 选取权值最小、 两个端点（顶点） 落在集合 s 中不同的连通分量上的一条边， 加入集合 s。 转到第 3 步。

算法过程示意

算法时间复杂度

Kruskal 算法的时间复杂度为 O(|E|log|E|)， 依赖于|E|而非|V|（其中， |V|指图中顶点的个数， |E|指图中边的个数） ， 所以 Kruskal 算法适合边稀疏而顶点较多的图。

Dijkstra 算法（迪杰斯特拉算法）

最短路径

• 带权路径长度：
  带权图中， 从一个顶点到另一个顶点所经历的边的权值之和， 叫做该路径的带权路径长度。
• 最短路径：
  从一个顶点到另一个顶点可能不止一条路径， 带权路径长度最小的那条叫做最短路径。
  

定义

单源最短路径问题： 求图中某一顶点到其他各顶点的最短路径。
求解单源最短路径问题通常采用 Dijkstra 算法。

算法思路

Dijkstra 算法思路如下（顶点总数为 n） ：

1. 维护两个数组：
   dist[]: dist[i]表示源点到顶点 i 的当前已知的最短路径长度。 初始时， 将 dist[]的每个元素值设为∞ （源点处为 0)。
   path[]：path[i]表示从源点到顶点 i 的最短路径上， 顶点 i 的前驱顶点。 初始均为-1.

算法思路如下（顶点总数为 n） ：

1. 集合 s 中存放已经求得最短路径的顶点， 初始为空， 然后将源点加入集合 s；
2. 如果所有顶点都加入了集合 s， 则算法结束； 否则， 当前加入集合 s 的顶点中， 最后一个加入的是顶点 u， 对于每一个 dist[v]（v = 1, 2, …, n 且未加入集合 s） 如果 $dist[u]+|<u,v>|<dist[v]$， 则令 $dist[v]=dist[u]+|<u,v>|$， $path[v]=u$。
3. 选取{dist[v] | v = 1, 2, ..., n)}中的最小值， 将对应的顶点 v 加入集合 s， 跳转到步骤 2。
   

算法伪代码

//G为图
//数组dist[i]表示源点a到顶点i的当前已知的最短路径长度。
//数组path[i]表示从源点到顶点i的最短路径上，顶点i的前驱顶点。初始均为-1。
//a为源点
Dijkstra(G, dist[], path[],a){
	初始化dist[]，将dist[]的每个元素值设为oo(源点处为0);
	初始化path[]，将path[]的每个元素值设为-1； 
	for(循环n次){
		u = 使dist[u]最小的还未被访问的顶点的标号；
		记u已被访问过;
		for(从u出发能到达的所有顶点v){
			if(v未被访问 && 以u为中介点使顶点a到达顶点v的最短距离dist[v]更优){
				更新dist[v];
				path[v] = u; //更新path[v]
			}
		}
	}
}

算法复杂度

Dijkstra 算法的时间复杂度为 O(|V|^2） （|V|为图中顶点的个数）
注意： Dijkstra 算法不适用于有负权值边的图。

弗洛依德(Floyd)算法

求解图中各个顶点之间的最短路径问题

核心思想：递推求解 n(顶点个数)阶方阵序列 $A^{(-1)}，A^{(0)}，A^{(1)}，\dots ，A^{(n-1)}$， 其中$A^{(-1)}$表示原图的邻接矩阵。 不断地通过绕行 $V_K$顶点去计算当前路径的路径长度。
算法步骤：

1. 初始化矩阵$A^{(-1)}$ ；
2. 求解