【No.17】蓝桥杯图论上|最短路问题|Floyd算法|Dijkstra算法|蓝桥公园|蓝桥王国(C++)

图的基本概念

图：

• 由点(node，或者 vertex)和连接点的边(edge)组成。
• 图是点和边构成的网。
  树：
• 特殊的图
• 树，即连通无环图树的结点从根开始，层层扩展子树，是一种层次关系，这种层次关系，保证了树上不会出现环路。
• 两点之间的路径：有且仅有一条路径。
• 最近公共祖先。

图应用背景

• 地图：路口、道路、过路费
• 计算机网络：路由协议
• 人际关系：六度空间理论

图的种类

1. 无向无权图，边没有权值、没有方向；
2. 有向无权图，边有方向、无权值；
3. 加权无向图，边有权值，但没有方向；
4. 加权有向图；
5. 有向无环图（Directed Acyclic Graph，DAG）。

图算法的时间分析

图算法的复杂度和边的数量 E、点的数量 V 相关。
O(V+E)：几乎是图问题中能达到的最好程度。
O(VlogE)、O(ElogV)：很好的算法。
O(V^2)、O(E2)或更高：不算是好的算法。

图的存储

能快速访问：图的存储，能让程序很快定位结点 u 和 v 的边(u, v) 。

• 数组存边：简单、空间使用最少；无法快递定位
• 邻接矩阵：简单、空间使用最大；定位最快 dis[a][b]
• 邻接表：空间很少，定位较快
• 链式前向星：空间更少，定位较快
  注： 存储方式跟题目相匹配，占用空间少定位快也不一定是问题的最优存储方式。

数组存边

优点：简单、最省空间。
缺点：无法定位某条边。
应用：bellman-ford 算法、最小生成树的 kruskal 算法

struct Edge
{
    int from, to, dis;  //from起始点，to终止点，dis权值
}e[M]; //结构体数组存边

cin >> n >> m;

for(int i = 1; i <= m; ++ i)
    cin >> e[i].from >> e[i].to >> e[i].dis;

邻接矩阵

二维数组： graph[NUM][NUM]
无向图： graph[i][j] = graph[j][i]
有向图： graph[i][j] != graph[j][i]
权值： graph[i][j]存结点i到j的边的权值。 例如 graph[1][2]=3，graph[2][1]=5等等。 用 graph[i][j]=INF表示i，j之间无边。

优点：

• 适合稠密图；
• 编码非常简短；
• 对边的存储、查询、更新等操作又快又简单。

缺点：

• 存储复杂度 O(V^2)太高。V=10000 时，空间 100M。
• 不能存储重边。

邻接表和链式前向星

邻接表（指针或数组下标）和链式前向星（容器模拟）的思路一样，只是表达方式不同。
应用场景：大稀疏图

优点：

• 存储效率非常高，存储复杂度O(V+E)
• 能存储重边
  

struct edge{
   
   
    int from, to; long long w; //起点，终点，权值。起点from并没有用到，e[i]的i就是from
    edge(int a, int b,long long c){
   
   from=a; to=b; w=c;}
};
vector<edge>e[N];          //用于存储图

最短路问题

最广为人知的图论问题就是最短路径问题。
简单图的最短路径

• 树上的路径：任意 2 点之间只有一条路径
• 所有边长都为 1 的图：用 BFS 搜最短路径，复杂度 O(n+m)
  普通图的最短路径
• 边长：不一定等于 1，而且可能为负数
• 算法：Floyd、Dijkstra、SPFA 等，各有应用场景，不可互相替代

最短路算法比较

问题	边权	算法	时间复杂度
一个起点，一个终点	非负数； 无边权（或边权为 1）	Astar(K短路)/ 普通	<O((m+n)logn)
		双向广搜	<O((m+n)logn)
		贪心最优搜索	<O(m+n)
一个起点到其他所有点	无边权（或边权为 1）	BFS	O(m+n)
	非负数	Dijkstra(堆优化 优先队列)	O((m+n)logn)
	允许有负数	SPFA	<O(mn)
所有点对之间	允许有负数	Floyd-Warshall	O(n^3)

什么算法也不能解决存在负环图的最短路的问题！最多是判断是否存在，或者找到负环。

网站推荐：CSAcademy Graph Editor

方便图论的学习。

Floyd 算法

• 最简单的最短路径算法，代码仅有 4 行
• 存图：最简单的矩阵存图
• 易懂，比暴力的搜索更简单易懂。
• 效率不高，不能用于大图
• 在某些场景下有自己的优势，难以替代。能做传递闭包问题（离散数学）

for(int k = 1; k <= n; k ++)         //floyd的三重循环
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= n;<