浅谈二分栈优化决策单调性 DP 的写法及细节

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动态规划优化(四边形不等式，斜率优化等)

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本文介绍了利用双端队列优化动态规划过程中的三元组管理策略。在中观层面，详细阐述了如何进行状态转移、更新过期三元组、删除无效区间，并通过二分查找确定最优分界点。微观上，对每个步骤进行了特判处理，确保算法的正确性和效率。提供的代码展示了这种优化技术在实际问题中的应用。

宏观

使用双端队列维护三元组 $(l, r, x)$ ，表示 $[l, r]$ 的决策点为 $x$ 。

中观

当扫描到第 $i$ 个位置的时候：

①进行转移
②在队首处弹出过老的三元组
③在队尾处弹出 $x$ 已没有 $i$ 优的三元组
④考虑队尾的三元组，通过二分确定 $⌈\lceil$ $x$ 更优 $⌋\rfloor$ 和 $⌈\lceil$ $i$ 更优 $⌋\rfloor$ 的分界点，并将最后一个三元组分裂为两个
⑤在队尾处插入以 $i$ 为决策点的三元组 $_,n,i)$

微观

②③④⑤一步一个特判。

①进行转移。
②在队首处弹出过老的三元组；注意此时队首处的三元组可能仍然覆盖了部分 $i$ 之后的位置，此时只能增大其 $l$ 而不能将其弹出。
③在队尾处弹出 $x$ 已没有 $i$ 优的三元组；注意特判 ③ 操作结束后队列为空的情况，此时应直接跳到第 ⑤ 步。
④考虑队尾的三元组，通过二分确定 $⌈\lceil$ $x$ 更优 $⌋\rfloor$ 和 $⌈\lceil$ $i$ 更优 $⌋\rfloor$ 的分界点，并将最后一个三元组分裂为两个；注意若 $i$ 在此区间中完全劣于该 $x$ ，则应设定分界点为三元组的右端点加 $1$ 。
⑤在队尾处插入以 $i$ 为决策点的三元组 $_,n,i)$ ；需要保证分界点不超过 $n$ 。

代码

int l=1,r=1;
q[1]=Node{1,n,0};
for (int i=1;i<=n;i++){
	f[i]=trans(q[l].pos,i);//(1)
		
	if (q[l].r<=i)  l++;
	else q[l].l++;//(2)
		
	while (calc(q[r].pos,q[r].l)>=calc(i,q[r].l))  r--;//(3)
	if (l>r)  q[++r].l=i+1,q[r].r=n,q[r].pos=i;//直接跳到第 5 步
	else{
		int k;
		if (calc(q[r].pos,q[r].r)<=calc(i,q[r].r))  k=q[r].r+1;//特判
		else k=binary(q[r].l,q[r].r,i,q[r].pos);//二分(4)
				
		if (k<=n){//特判
			q[r].r=k-1;
			q[++r].l=k,q[r].r=n,q[r].pos=i;//插入(5)
		}
	}
}