决策单调性——二分栈

今天我们来了解一下处理决策单调性的神器——二分栈。

ps：这种算法是单调队列的升级版，既是栈又是队列，就叫它二分单调双端队列吧

题目引入——JSOI2016 灯塔

对于每个 $i$，求解

max ⁡ j ≤ i { a j + i − j } \max_{j \le i}\{a_j + \sqrt{i - j}\} j≤imax​{ aj​+i−j ​}

我们令 $f_j(i)=a_j+\sqrt{i-j}$，$j$ 称为 $i$ 的决策。设使 $f_j(i)$ 取得最大值的 $j$ 为 $p_i$，我们称 $p_i$ 为 $i$ 的最优决策。

单调性决策的发现

我们尝试对每一个最优决策 $p_i$ 进行分析。

对于 $q_i(简称q)<p_i(简称p)$

有 f p ( i ) ≥ f q ( i )