求车辆在Frenet坐标系上投影点的坐标

原创 已于 2022-05-01 15:22:08 修改 · 1.4k 阅读 · 5 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
文章标签：

#投影点 #frenet

于 2022-05-01 15:11:03 首次发布
本文介绍如何通过3步骤解决车辆投影问题：首先确定最近匹配点，然后利用航向角和曲率计算主车向量，最后应用公式近似得到投影点的航向角和曲率。关键概念包括曲率定义和投影点的求解过程。

Reference line一般是离散点，如下图所示，故投影点为近似投影。

投影点求解分3步：

1，在Reference line上找距离车辆最近的点，作为匹配点match point，其直角坐标系下的坐标记为(x_{m},y_{m},\theta _{m},k_{m})。其中，\theta为航向角，k为曲率。

2，主车坐标为(x_{h},y_{h})，求向量\vec{d},\vec{d}\tau。

最低0.47元/天 解锁文章
【自动驾驶轨迹规划之Frenet坐标系】
weixin_65089713的博客
04-18 5993
目录 1 结构化道路场景 2 参考线的生成 2.1 车道中心线曲率不一定连续 2.2 生成平滑参考线 2.3 离线计算 3 Frenet坐标系 3.1Frenet坐标系的意义 3.2Frenet坐标与笛卡尔坐标的转换 3.2.1 笛卡尔坐标系下的车辆运动状态 3.2.2 Frenet坐标系下的车辆运动状态 3.2.3 Frenet坐标系与笛卡尔坐标系之间车辆运动状态量的转换 4 Frenet坐标系的局限性 1 结构化道路场景 与复杂的非结构化泊车场景相比，结构化道路场景的..
从Cartesian坐标系向Frenet坐标系转换的匹配点计算——向量投影法
昔风不起，唯有努力生存！
09-13 966
曲线上离该点最近的点，被称为该点在Frenet坐标系曲线上的匹配点。在自动驾驶系统中，我们一般采用一系列顺序拼接的局部参数曲线【直线段、圆曲线、螺旋曲线、多项式曲线等】来表示一条道路或车道的走势。但是我们不会直接用这些参数曲线来构建Frenet坐标系，而是采用这些曲线生成的点序列。本质原因有二：1）求匹配点需要求点到曲线的最短距离，点到参数化曲线的距离公式不统一，甚至对于某些曲线并没有一个所谓的最短距离公式；
Frenet坐标系下横纵向轨迹决策规划（SL投影及ST投影）及Apollo决策算法解析
热门推荐
David's Tweet
11-25 2万+
参考： （1）《攻城狮说 | 应对复杂路况，自动驾驶如何规划它的下一步？ “老司机”炼成记！》微信公众号文章Pony.ai小马智行 （2）《【Apollo】apollo3.5决策分享 --by 百度美研 Yifei Jiang老师》知乎 （3）《Baidu Apollo代码解析之s-t图的创建与采样（path_time_graph)》 优快云 （4）《技术文档 | 二次规划（QP）样条路径》微信公众号文章Apollo开发者社区 （5）《开发者说｜Apollo5.5 规划算法解析》 知乎...
轨迹规划1：Frenet坐标转化公式推导
weixin_37395438的博客
01-21 1万+
Frenet坐标系转换推导详解 在无人车的轨迹规划层，通常需要将车辆位置从笛卡尔坐标系转化到Frenet坐标系中，为此需要对两个坐标系的变换需要有一定的了解。 参考文档 Frenet坐标推导过程整理 Apollo项目坐标系研究 Hibbeler R C . Engineering Mechanics: Dynamics (13th Edition)[J]. Prentice Hall, 2013.（16.8小节） Werling M , Ziegler J , Kammel S , et al. Opti
【自动驾驶】Frenet坐标系与Cartesian坐标系（一）
weixin_42301220的博客
06-09 1万+
一般情况下，我们使用Cartesian坐标系（笛卡尔坐标系）来描述物体的坐标，但对于车辆来说，笛卡尔坐标系并不是最佳选择。因为即使知道了笛卡尔坐标系下车辆的位置信息，也难以表达车辆与道路之间的相对位置，导致二者之间的相对关系不明确。因此，传统规划算法在笛卡尔坐标系下规划出的路径对于开放道路有良好的效果，但是对于公路环境，忽略车道信息导致路径的自由度太高而容易违反道路交通规则。Frenet坐标系在无人驾驶领域被普遍使用，特别是在城市、高速等道路交通环境下无人驾驶的路径规划系统中。Frenet坐标系使用道路的中
匹配点与投影点
qq_37087723的博客
10-24 606
点与参考线上的点的连线与参考线上的点对应的切线垂直如下图的AA’
【动手学轨迹预测】2.2 Frenet坐标系
自动驾驶小白说
12-17 1227
首先我们需要了解什么是Frenet坐标系, 是一种在几何学和物理学中常用的坐标系，特别是在轨迹规划和机器人控制中，它能够更直观地表示车辆在弯曲道路上的位置。
Frenet坐标系 or Cartesian坐标系？
weixin_39739999的博客
06-02 2587
在自动驾驶领域，道路边界是一个不得不处理的约束，很多情况下，非线性的道路边界也是最难处理的约束。此外，现实中的车辆大多数时候都是沿着道路中心线行驶的，所以在Frenet坐标系中，车辆的运动可以直接解耦为纵向运动和横向运动，实现了降维的效果，这是在Cartesian坐标系中是很难实现的。工程应用中，参考线通常是以一系列离散坐标点的形式表示的，只有离散点处(x,y)的信息来自传感器，其他的heading/kappa/dkappa信息都是据此推导而来的，这些信息的连续性或平滑性，依赖于相邻参考点之间的连接处理。
frenet坐标系与笛卡尔坐标系转换公式
yanfang7722的博客
03-25 1662
即沿参考线上的里程s，其相对时间的一二阶导数，横向偏移l，其相对s的一二阶导数。选择指引线上距离车辆位置（x，y）最近点的的点做参考点，参考点插值投影得。和reference line，根据指引线插值得到s_r对应参考点状态。，即参考点的累计长度s，位置xy，航向角，曲率，曲率对s导数。，即车辆位置x,y，航向角，曲率，速度，加速度。，和reference line，求参考点状态。frenet坐标系转笛卡尔坐标系。笛卡尔坐标系转frenet坐标系。
动手学运动规划:1.5 Frenet坐标系
自动驾驶小白说
09-23 2797
All tragedy erased, I see only wonders. 我忘却了所有的悲剧，所见皆是奇迹。—Hollow Knight 空洞骑士🏰：请参考!Frenet坐标系是一种在几何学和物理学中常用的坐标系，特别是在轨迹规划和机器人控制中，它能够更直观地表示车辆在弯曲道路上的位置。
空间曲线的Frenet_Serret公式及其类似公式
10-10
CAD/CAM微分几何，关于Frenet-serret公式及其类似的公式
基于Carla的EMplanner教程四：匹配点和投影算法
Thebluewinds的博客
07-30 1456
本文详细介绍了如何在在离散规划点中找到距离本车最近的匹配点，进而计算出投影点的信息。
[坐标系转换]车体坐标系 转 像素坐标系
condom10010的博客
10-27 1930
坐标系转换理解和代码
决策规划-第二章参考线模块学习总结
qq_57172948的博客
02-22 574
决策规划-第二章参考线模块学习总结
科普：Frenet坐标
OceanStar的博客
02-14 1万+
理想情况下，描述这种常见驾驶行为在数学上应该很容易。一种方法是使用新的坐标系。现在，而不是放下一个正常的笛卡尔网格，我们做一些事情，就像你看到下面…Frenet Coordinates是一种以比传统x，y笛卡尔坐标更直观的方式表示道路位置的方式。如果我们想要方程式来描述这个动作，那就不容易了！想象一下像下面这样一条弯曲的道路，笛卡尔坐标系就位于它的上面…使用这些笛卡尔坐标，我们可以尝试描述车辆通常在路上行驶的路径…那么在Frenet坐标系下呈现的典型轨迹是什么样的？在这里，我们定义了一个新的坐标系统。
局部路径规划——frenet坐标系
u013013280的博客
11-05 875
s=∫ba(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√dt=∫ba|v(t)|dt.i 和 j 是单位向量。在曲线上，任意一点的单位法向量的方向是垂直于该点的单位切向量，并指向曲率中心。法向量与切向量垂直，并且指向曲率的中心，这意味着它指向曲线弯曲的方向。参数曲线的向量值函数：表示空间曲线在 x、y、z 方向上的分量随时间的变化。向量值函数不仅描述粒子的路径，还描述粒子的运动方式。分别是向量i 和向量j 的微小变化。（角度微小变化），形成的单位圆弧度（
Frenet坐标系与Cartesian坐标系相互转换
gene's blog
06-27 846
Frenet 坐标系也称为自然坐标系，或sl 坐标系，是一种基于道路几何特性的曲线坐标系。它由法国数学家Jean Frenet于1847年为了解决在求解某些几何问题时遇到的环形坐标系的问题而提出的。它依据曲线的切线和法线来定义坐标轴，主要用于局部地描述曲线或曲面的几何特性。在自动驾驶技术领域，这种坐标系统提供了一种相对于传统的Cartesian坐标系统更为直观的方式来表示车辆在道路上的位置。核心思想是将机器的位置分解为纵向sss和横向lll两个维度，从而简化路径规划问题；
无人机的航向角
道亦无名
03-15 3218
74LS138还具有三个地址输入端A0、A1、A2，以及八个输出端Y0至Y7。这些引脚的作用是，A0、A1、A2以二进制形式输入，然后转换成十进制，对应相应Y的序号输出低电平，其他均为高电平。74LS138具有多种使能方式，包括三个选通端STA(E1)、STB(E2)、STC(E3)，使得其更加灵活和可定制化。其工作原理基于布尔代数和逻辑门来实现数字信号解码。总的来说，74LS138是一款功能强大的译码器，其多种使能方式和灵活的输入输出控制使得它在各种数字电路设计中有着广泛的应用。
自动驾驶控制算法-离散规划轨迹的误差计算
qq_42846675的博客
12-26 1118
本文是学习自动驾驶控制算法第七讲 离散规划轨迹的误差计算的学习笔记。
Frenet坐标系
最新发布
10-24
<think>嗯……用户现在明确想了解Frenet坐标系的基本介绍。结合之前的引用资料来看，用户可能正在研究轨迹规划或机器人控制领域，因为这两个引用都提到了相关应用场景。 注意到用户提供的引用[1]提到这是法国数学家Jean Frenet在1847年提出的坐标系，专门用于解决几何问题中的环形坐标困难。而引用[2]展示的Apollo代码片段则揭示了它在自动驾驶中的实际应用——通过cartesian_to_frenet函数转换坐标系并计算导数信息。 用户没有要求具体深度，所以准备从基础概念展开：首先要说明Frenet坐标系的核心是“道路绑定”的特性，不同于笛卡尔坐标系的世界固定参考系。这里需要强调两个核心参数：纵向位移s（沿参考线距离）和横向位移d（垂直偏移量），这是理解后续微分几何特性的关键。 微分几何部分不可避免要引入切向量T和法向量N的概念，但考虑到用户可能是工程师而非数学家，应当用轨迹曲率这样的物理量来具象化说明，避免陷入纯数学推导。代码示例选择Python是考虑到通用性，展示如何将理论转化为实际坐标转换计算。 最后的应用部分要突出实用价值：为什么自动驾驶领域普遍采用这种坐标系？因为它天然解耦了纵向控制和横向控制，这对规划模块至关重要。这里可以埋个伏笔——如果用户后续问到Apollo的具体实现，再展开讲一阶导（速度相关）和二阶导（加速度相关）在控制算法中的作用。 相关问题设计成阶梯状：从基础定义（坐标系原理）到中等难度（与笛卡尔坐标系转换），最后是高级应用（最优控制）。这样无论用户是学生还是工程师都能找到切入点。 </think>好的，我们来详细介绍Frenet坐标系（Frenet–Serret frame）。这是一种在几何学、物理学，尤其在**运动轨迹分析、机器人路径规划（如自动驾驶Apollo系统）、计算机图形学**中极其重要的局部坐标系。 ### 核心概念：绑定于曲线的坐标系 与固定于空间的笛卡尔坐标系（Cartesian Coordinate System，使用x, y, z表示位置）不同，Frenet坐标系**紧密绑定在一条给定的空间曲线（称为“参考线”或“中心线”）上**。它用于描述一个点相对于这条参考线的位置和运动状态。 ### Frenet坐标系的核心参数 对于一个在三维空间沿曲线运动的点，Frenet坐标系在该点处定义三个相互垂直的单位向量，构成一个局部正交标架： 1. **切向量 $\vec{T}$ (Tangent Vector):** * 方向：沿着曲线在该点处的切线方向，指向曲线的正向（运动方向）。 * 定义：是曲线弧长参数$s$对位置的导数归一化：$$\vec{T} = \frac{d\vec{r}}{ds}$$ 其中$\vec{r}(s)$是用弧长$s$参数化的曲线位置矢量。 2. **法向量 $\vec{N}$ (Normal Vector):** * 方向：垂直于切向量$\vec{T}$，指向曲线在该点处**弯曲的中心**（凹侧）。它描述了曲线方向变化的快慢和方向。 * 定义：是切向量$\vec{T}$对弧长$s$的导数归一化：$$\vec{N} = \frac{1}{\kappa} \frac{d\vec{T}}{ds}$$ 其中$\kappa$是**曲率**。 3. **副法向量 $\vec{B}$ (Binormal Vector):** * 方向：同时垂直于$\vec{T}$和$\vec{N}$，满足右手定则：$\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}$。它描述了曲线在该点处的**扭转**程度（离开密切平面的趋势）。 * 定义：$$\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}$$ ### Frenet坐标系的关键几何量 基于这三个向量，可以定义两个描述曲线局部几何形状的基本量： 1. **曲率 $\kappa$ (Curvature):** * 物理意义：衡量曲线在某一点处**弯曲程度**的度量。直线曲率为0，圆半径越小曲率越大。 * 数学定义：$$\kappa = \left\lVert \frac{d\vec{T}}{ds} \right\rVert = \frac{1}{R}$$ 其中$R$是曲率半径。它直接出现在法向量$\vec{N}$的定义中。 2. **挠率 $\tau$ (Torsion):** * 物理意义：衡量曲线在某一点处**扭转程度**或**脱离密切平面**程度的度量。平面曲线挠率为0。 * 数学定义：$$\tau = - \vec{B} \cdot \frac{d\vec{N}}{ds}$$ 它描述了副法向量$\vec{B}$方向变化的速率。 ### Frenet-Serret公式 这三个单位向量随弧长$s$的变化率由**Frenet-Serret公式**给出，这是微分几何的核心公式之一： $$\begin{cases} \frac{d\vec{T}}{ds} &= & +\kappa \vec{N} \\ \frac{d\vec{N}}{ds} &= -\kappa \vec{T} & & + \tau \vec{B} \\ \frac{d\vec{B}}{ds} &= & -\tau \vec{N} & \end{cases}$$ 这些公式清晰地表明了$\kappa$和$\tau$如何控制曲线的局部形状：曲率引起切向量转向法向量方向，挠率引起法向量转向副法向量方向（或反之）。 ### Frenet坐标系在应用中的优势（尤其在轨迹规划） 1. **解耦运动描述：** 在自动驾驶或机器人路径规划中，参考线通常是期望的路径（道路中心线）。Frenet坐标系将车辆/机器人的运动状态描述分解为： * **纵向运动 (s方向):** 沿着参考线前进或后退的距离（弧长$s$）及其导数（速度$\dot{s}$，加速度$\ddot{s}$等）。 * **横向运动 (d方向):** 偏离参考线的横向偏移量$d$（通常沿法向量$\vec{N}$方向测量）及其导数（横向速度$\dot{d}$，横向加速度$\ddot{d}$等）。 * 这种分解使得路径跟踪问题的控制目标（如保持在车道中央$d=0$，保持期望速度$\dot{s}=v_{desired}$）变得非常直观和独立[^1][^2]。 2. **简化约束处理：** 道路边界、车道线约束等通常可以自然地表示为在Frenet框架下的横向偏移量$d$的边界约束（例如 $-d_{max} \leq d \leq d_{max}$）。 3. **动态规划与优化的便捷性：** 在Frenet坐标系下规划轨迹（s(t)和d(t)）通常比在笛卡尔坐标系下规划x(t), y(t)更简单高效，因为路径约束和部分运动约束直接与坐标轴平行。 ### 笛卡尔坐标系与Frenet坐标系的转换 如用户引用[2]所示，实际应用（如Apollo）的核心模块之一就是在车辆感知的笛卡尔坐标（x, y, heading, speed...）和规划控制所需的Frenet坐标（s, d, $\dot{s}$, $\dot{d}$, ...）之间进行相互转换。`cartesian_to_frenet`函数正是完成这个任务，计算点在Frenet系下的坐标及其高阶导数（速度、加速度对应项）[^2]。这需要知道参考线在该点投影位置（s点）处的几何信息（位置$(r_x, r_y)$，方向$r_\theta$，曲率$r_\kappa$，曲率变化率$r_{d\kappa}$）。 ### Python 示例 (概念性) 以下是计算曲率的一个简单示例： ```python import numpy as np def calculate_curvature(points): """计算一组离散点（x, y）的近似曲率.""" n = len(points) curvatures = np.zeros(n) for i in range(1, n-1): x1, y1 = points[i-1] x2, y2 = points[i] x3, y3 = points[i+1] # 计算向量 dx1, dy1 = x2 - x1, y2 - y1 dx2, dy2 = x3 - x2, y3 - y2 # 计算向量长度（近似弧长） ds1 = np.sqrt(dx1**2 + dy1**2) ds2 = np.sqrt(dx2**2 + dy2**2) # 单位切向量（前向差分） T1 = np.array([dx1 / ds1, dy1 / ds1]) T2 = np.array([dx2 / ds2, dy2 / ds2]) # 切向量变化除以平均弧长 (dT/ds 的近似) dTds = (T2 - T1) / ((ds1 + ds2) / 2.0) # 曲率 kappa = ||dT/ds|| curvatures[i] = np.linalg.norm(dTds) # 处理端点（可选） curvatures[0] = curvatures[1] curvatures[-1] = curvatures[-2] return curvatures ``` ### 总结 Frenet坐标系提供了一种强大的工具，用于分析和描述物体沿着预定路径的运动。通过将全局位置和姿态映射到相对于参考路径的纵向位置（s）和横向偏移（d）及其导数，它极大地简化了路径跟踪、轨迹规划和运动控制问题，尤其是在自动驾驶和机器人导航领域[^1][^2]。
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值