【考题·数学】矩阵游戏(数学推导)

问题描述

LZK发明一个矩阵游戏，大家一起来玩玩吧，有一个N行M列的矩阵。第一行的数字是1,2,…M,第二行的数字是M+1,M+2…2*M,以此类推，第N行的数字是(N-1)*M+1,(N-1)M+2…NM。

例如,N=3,M=4的矩阵是这样的:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

对于身为智慧之神的LZK来说,这个矩阵过于无趣.于是他决定改造这个矩阵,改造会进行K次,每次改造会将矩阵的某一行或某一列乘上一个数字,你的任务是计算最终这个矩阵内所有数字的和,输出答案对109+7取模。

题目大意

给定一个顺序标号的矩阵，有若干次操作使得某一行或某一列乘上某一个数，求最后只一个矩阵的所有数之和。

题解

我们用数组$r_i$标记第$i$行所有乘的数的积，用数组$s_i$标记第$j$列所有乘的数的积。

通过观察，可以发现第$i$行第$j$列的数字编号为：$m\times (i-1)+j$。

显然对于每一个数，乘法的顺序不会对结果产生任何影响，因此我们可以先处理横向的乘法。

在做完横向的乘法以后，我们需要得到第j列所有数的和$su{m}_j$,则有：
$$su{m}_j=\sum _{i=1}^n{r}_i\times [m(i-1)+j]$$
通过乘法分配律展开，得到：
$$su{m}_j$$