hdu - 1853 && hdu - 3488 && hdu - 3435 有向环覆盖 二分图最小权完美匹配 KM

最新推荐文章于 2021-03-22 13:36:04 发布
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本文介绍了一种通过将有向图的环覆盖问题转化为二分图匹配问题来求解最小权值的方法，并给出了详细的算法实现步骤及代码示例。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

题意：给你一个N个点M条边的带权有向图,现在要你求这样一个值:  该有向图中的所有顶点正好被1个或多个不相交的有向环覆盖.  这个值就是所有这些有向环的权值和. 要求该值越小越好.

        把有向图的每一个点都分别加入二分图的两边，原图中若有i->j即二分图中有i->j'，则原图的有向环覆盖就能转化成二分图的完备匹配问题。若原图存在则二分图存在。最小权的有向图覆盖即为二分图的最小权匹配。

        二分图最优匹配中所有连着的边 != -INF则存在有向环覆盖，值为所有边权。


最小权匹配：只需把权值取反，变为负的，再用KM算出最大权匹配，取反则为其最小权匹配。

（可费用流）

链接：hdu 1853

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1005;

int n, nx, ny, w[maxn][maxn];
int link[maxn], lx[maxn], ly[maxn], slack[maxn];
bool visx[maxn], visy[maxn];

bool dfs(int x){
    visx[x] = true;
    for(int y = 1; y <= ny; y++){
        if(visy[y]) continue;
        int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
        if(t == 0){
            visy[y] = true;
            if(link[y] == -1 || dfs(link[y])){
                link[y] = x;
                return true;
            }
        }
        else
            if(slack[y] > t){ //不在相等子图中slack取最小的
                slack[y] = t;
            }
    }
    return false;
}

int KM(){
    nx = ny = n;
    memset(link, -1, sizeof(link));
    memset(ly, 0, sizeof(ly));
    for(int i = 1; i <= nx; i++){ //lx 初始化为与它关联边中最大的
        lx[i] = -INF;
        for(int j = 1; j <= ny; j++){
            if(w[i][j] > lx[i]) lx[i] = w[i][j];
        }
    }

    for(int x = 1; x <= nx; x++){
        for(int i = 1; i <= ny; i++){
            slack[i] = INF;
        }
        while(true){
            memset(visx, false, sizeof(visx));
            memset(visy, false, sizeof(visy));

            //若成功(找到了增广路)，则该点增广完毕，下一个点进入增广
            if(dfs(x)) break;

            //若失败，则需要改变一些点的顶标，使得图中可行边的数量增加
            //(1)将所有在增广轨中的 X 方点的标号 全部减去一个常数 d ；
            //(2)将所有在增广轨中的 Y 方点的标号 全部加上一个常数 d ；
            int d = INF;
            for(int i = 1; i <= ny; i++){
                if(!visy[i] && d > slack[i]) d = slack[i];
            }
            for(int i = 1; i <= nx; i++){
                if(visx[i]) lx[i] -= d;
            }
            for(int i = 1; i <= ny; i++){
                if(visy[i]) ly[i] += d;
                else slack[i] -= d;
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= ny; i++){
        if(link[i] > -1) res += w[link[i]][i];
    }
    return res;
}

int main ()
{
    int N, M;
    while(~scanf("%d %d", &N, &M)) {
        for(int i = 0; i < maxn; i++) {
            for(int j = 0; j < maxn; j++) {
                w[i][j] = -INF;
            }
        }
        while(M--) {
            int x, y, k;
            scanf("%d %d %d", &x, &y, &k);
            if(w[x][y] < -k) {
                w[x][y] = -k;
            }
        }
        n = N;
        int mm = KM();
        int ans = 0, flag = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(w[link[i]][i] == -INF) {
                flag = 1;
                break;
            }
            ans += w[link[i]][i];
        }
        printf("%d\n", flag ? -1 : -ans);
    }
    return 0;
}

题意：有n个节点，m条有权单向路，要求用一个或者多个环覆盖所有的节点。

每个节点只能出现在一个环中，每个环中至少有两个节点。

问最小边权花费为多少？

链接：hdu 3488

代码同上即可


题意：   给你一个N个节点M条边的无向图,要你求该图有1个或多个不相交有向环(哈密顿回路)构成时,所有这些有向环的最小权值.

即把无向边写成两条有向边， 有重边，做法几乎与上面的无异

链接：hdu 3435

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1005;

int n, nx, ny, w[maxn][maxn];
int link[maxn], lx[maxn], ly[maxn], slack[maxn];
bool visx[maxn], visy[maxn];

bool dfs(int x){
    visx[x] = true;
    for(int y = 1; y <= ny; y++){
        if(visy[y]) continue;
        int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
        if(t == 0){
            visy[y] = true;
            if(link[y] == -1 || dfs(link[y])){
                link[y] = x;
                return true;
            }
        }
        else
            if(slack[y] > t){ //不在相等子图中slack取最小的
                slack[y] = t;
            }
    }
    return false;
}

int KM(){
    nx = ny = n;
    memset(link, -1, sizeof(link));
    memset(ly, 0, sizeof(ly));
    for(int i = 1; i <= nx; i++){ //lx 初始化为与它关联边中最大的
        lx[i] = -INF;
        for(int j = 1; j <= ny; j++){
            if(w[i][j] > lx[i]) lx[i] = w[i][j];
        }
    }

    for(int x = 1; x <= nx; x++){
        for(int i = 1; i <= ny; i++){
            slack[i] = INF;
        }
        while(true){
            memset(visx, false, sizeof(visx));
            memset(visy, false, sizeof(visy));

            //若成功(找到了增广路)，则该点增广完毕，下一个点进入增广
            if(dfs(x)) break;

            //若失败，则需要改变一些点的顶标，使得图中可行边的数量增加
            //(1)将所有在增广轨中的 X 方点的标号 全部减去一个常数 d ；
            //(2)将所有在增广轨中的 Y 方点的标号 全部加上一个常数 d ；
            int d = INF;
            for(int i = 1; i <= ny; i++){
                if(!visy[i] && d > slack[i]) d = slack[i];
            }
            for(int i = 1; i <= nx; i++){
                if(visx[i]) lx[i] -= d;
            }
            for(int i = 1; i <= ny; i++){
                if(visy[i]) ly[i] += d;
                else slack[i] -= d;
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= ny; i++){
        if(link[i] > -1) res += w[link[i]][i];
    }
    return res;
}

int main ()
{
    int t, kcase = 0;
    cin >> t;
    int N, M;
    while(t--) {
        cin >> N >> M;
        for(int i = 0; i < maxn; i++) {
            for(int j = 0; j < maxn; j++) {
                w[i][j] = -INF;
            }
        }
        while(M--) {
            int x, y, k;
            scanf("%d %d %d", &x, &y, &k);
            if(w[x][y] < -k) {
                w[x][y] = w[y][x] = -k;
            }
        }
        n = N;
        int mm = KM();
        int ans = 0, flag = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(w[link[i]][i] == -INF) {
                flag = 1;
                break;
            }
            ans += w[link[i]][i];
        }
        printf("Case %d: ", ++kcase);
        if(flag){
            puts("NO");
        }
        else {
            printf("%d\n", -ans);
        }
    }
    return 0;
}




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