二分图的最佳完美匹配——KM算法

二分图的最佳完美匹配

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如果二分图的每条边都有一个权（可以是负数），要求一种完备匹配方案，使得所有匹配边的权和最大，记做最佳完美匹配。（特殊的，当所有边的权为1时，就是最大完备匹配问题）
我们使用KM算法解决该问题。

KM（Kuhn and Munkres）算法，是对匈牙利算法的一种贪心扩展，如果对匈牙利算法还不够明白，建议先重新回顾一下匈牙利算法。

KM是对匈牙利算法的一种贪心扩展，这种贪心不是对边的权值的贪心，算法发明者引入了一些新的概念，从而完成了这种扩展。

可行顶标

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对于原图中的任意一个结点，给定一个函数$L(node)$求出结点的顶标值。我们用数组$lx(x)$记录集合$X$中的结点顶标值，用数组$ly(y)$记录集合$Y$中的结点顶标值。
并且，对于原图中任意一条边$edge(x,y)$,都满足$$lx(x)+ly(y)>=weight(x,y)$$

相等子图

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相等子图是原图的一个生成子图（生成子图即包含原图的所有结点，但是不包含所有的边）,并且该生成子图中只包含满足$$lx(x)+ly(y)=weight(x,y)$$的边,这样的边我们称之为可行边。

算法原理

• 定理：如果原图的一个相等子图中包含完备匹配，那么这个匹配就是原图的最佳二分图匹配。

• 证明 ：由于算法中一直保持顶标的可行性，所以任意一个匹配的权值之和肯定小于等于所有结点的顶标之和，则相等子图中的完备匹配肯定是最优匹配。

这就是为什么我们要引入可行顶标和相等子图的概念。
上面的证明可能太过抽象，我们结合图示更直观的表述。

该图表示原图，且$X=1,2,3,Y=4,5,6$,给出权值

$weight(1,4)=5$
$weight(1,5)=10$
$weight(1,6)=15$
$weight(2,4)=5$
$weight(2,5)=10$
$weight(3,4)=10$
$weight(3,6)=20$

对于原图的任意一个匹配$M$

那么对于

$edge(1,6)weight(1,6)=15$
$edge(2,5)weight(2,5)=10$
$edge(3,4)weight(3,4)=10$

都满足$$lx(x)+ly(y)>$$