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最新推荐文章于 2021-08-07 16:28:44 发布

风中之神111

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分类专栏：数论

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博客围绕求解满足GCD(a,b) = a XOR b（1<=b <=a<=n，1<= n <= 30000000）的问题展开。介绍了两种思路，一是利用a XOR c=b并用gcd(a,b)=c验证，但时间复杂度高；二是证明b=a - c，还给出了相关证明过程及参考链接。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

求满足GCD(a,b) = a XOR b; 其中1<=b <=a<=n。1<= n <= 30000000.

思路：

异或：a XOR b = c 那么 a XOR c = b;
那么我们令GCD（a,b）= c; 这样 a 是 c 倍数。我们可以通过遍历c , 然后通过筛法，把c的倍数晒出当作a。求b如何求呢？

书上提供一种方法是利用a XOR c=b 然后用 gcd(a,b)=c 验证。但是这个方法是超时的，gcd是logn 级别的总的时间复杂度，n*(logn)^2。这是我们不能接受的。

还有一种方法是证明b=a-c。这个证明还是不容易的 :

首先(a>b)gcd(a,b) = c <= a-b 其次要证明a ^ b >= a-b 。我们可以这样想，他们什么时候取等于，我们知道异或是相同为0，不同为1 那么我们把a,b用二进制展开，这样我们a,b是每一位对应的，我们把所以不同的二进制位，全部变为ai = 1，bi = 0。这样我们知道，没有借位那么a ^ b == a-b 。那么后面按照XOR序列的顺序变化，a-b变小，那么a ^ b >= a-b。从而c = a-b
参考：http://www.mamicode.com/info-detail-2490991.html

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
//#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int RA = 30000000;

int ans[RA + 5];

void Init(){
	memset(ans,0,sizeof(ans));
    for(int c = 1; c <= RA/2; ++c){
        for(int a = c + c; a <= RA; a += c){
            int b = a - c;
            if((a ^ b) == c) ++ans[a];
        }
    }
    for(int i = 2; i <= RA; ++i) ans[i] += ans[i - 1];
}

int main(){
	
    Init();
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T,N; 
    scanf("%d",&T);
    for(int i = 1; i <= T; ++i){
        scanf("%d",&N);
        printf("Case %d: %d\n",i,ans[N]);
    }
    return 0;
}