[DP]BZOJ 1190——[HNOI2007]梦幻岛宝珠动态规划]

最新推荐文章于 2019-07-27 22:57:00 发布

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本文介绍了一种特殊的背包问题，通过二进制数表示背包容量，并使用动态规划解决该问题。文章详细阐述了如何定义状态转移方程，以及如何通过枚举进行求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目梗概

一个背包问题，但是有一些奇怪的条件。

背包大小<= $2^{30}$ $N<=100$

物品符合 $a*2^b(a<=10;b<=30)$

题目梗概

把背包大小看成一个二进制数。

将 $f[i][j]$ 定义为前i位数， $2^i$ 这位选择了j个大小。

枚举第 $i-1$ 位填 $k$ ,显然剩下的 $j-k$ 都由第 $i$ 位填满，所以可以得到转移方程 $f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-k]+f[i-1][min(2*k+((w>>i-1)$ & $1),m)])$

$m$ 为 $i-1$ 的上限，因为 $a<=10$ ,所以 $m=1000$

这也是这么定义DP的好处， $j,k$ 的上限为m

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int m=1000;
int w,n,f[35][m+5],ans;
int main(){
    freopen("exam.in","r",stdin);
    freopen("exam.out","w",stdout);
    while(1){
        scanf("%d%d",&n,&w);
        if (n==-1&&w==-1) return 0;
        memset(f,0,sizeof(f));
        for (int i=1,a,x,b;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&a,&x);b=0;
            while(a%2==0) a>>=1,b++;
            for (int j=m;j>=a;j--) f[b][j]=max(f[b][j],f[b][j-a]+x);
        }
        ans=0;for (int j=0;j<=m;j++) ans=max(f[0][j],ans);
        for (int i=1;i<=30&&(1<<i)<=w;i++)
        for (int j=min(m,w>>i);j>=0;j--){
            for (int k=0;k<=j;k++) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-k]+f[i-1][min(2*k+((w>>i-1)&1),m)]);
            ans=max(ans,f[i][j]);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}