并查集

并查集

并查集对我们来说并不陌生，已经学过了，进行一个复习
并查集是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并且支持合并和查询操作的数据结构，他有两种操作：
1.查询，查询这个元素属于那个集合
2.合并，把两个集合合并成一个集合
用于实现这种数据结构，我们通常使用代表元，也就是找一个固定的元素来代表一个集合
接下来我们就得来研究归属关系的表示方法，这里可以使用f[x]数组（全称father）来表示x的代表元素，其实并查集就是一个森林之间的操作，f数组也可以表示一个点的父亲，代表元素可以理解成根元素，合并就是将两个森林合并成一棵树。那么在查询的时候不断地递归f[x]，直至到达树根
但是我们可以明白，这种递归方法比较的浪费时间，可以采用路径压缩，路径压缩就是说，把每次访问过的每个节点直接指向树根（也即是代表元素），也就是下一次查找直接就获取了代表元素了，不用再重新查找了，来节省时间
1.一开始存储的时候，将f数组赋值成自己，也就是自己的单独的集合
2.不断地往上寻找，如果找到代表元素就返回，否则路径压缩将代表元素存到父亲点
3.合并的话，直接将两个元素的代表元素合并，节省空间，让x的根节点做y的子节点
路径压缩的时间复杂度是O(nlogn)级别的

int get(int x)
{
	if(x==f[x]) return x;
	return f[x]=get(f[x]);//路径压缩
}
void un(int x,int y)
{
	f[get(x)]=get(y);//代表元素进行合并
}

启发式合并

路径压缩好简单，但是启发式合并就…
我们对每一个集合维护大小两个值，每次把小的集合的代表元素父亲设为大的集合的代表元素
这样每次跳一步，子树的大小会翻倍，这样每个点任意时刻到根的路径都是O(lgn)

按秩合并

路径压缩好简单，但是按秩合并就…
我们对每一个点的深度维护大小两个值，每次把深度小的挂在深度大的上边
显然，新的集合的深度变大1当且 仅当原先两个集合深度相等，因此可以归纳证明每次最大深度+1，集合大小也会翻倍，复杂度也和启发式合并一样

关于这两个算法的思想很相似，但是让人感到难理解，就是这么做的原理是什么？
因为把小的集合或者深度合并到大的集合或者深度中，这样节点会被拓大，也就是1次合并会得到2次的结果，那肯定就会快了，这个思路很像是受了启发一样，拍案称奇，写到这里，我不禁笑出来了，啊哈哈

int dfn[SIZE];//深度or集合大小 
void merge(int u,int v)
{
	int t1=find(u);
	int t2=find(v);
	if(t1!=t2)//需要合并啦
	{
		if(dfn[t1]>dfn[t2])
		{
			fa[t2]=t1;
		}
		else if(dfn[t2]<dfn[t1])
		{
			fa[t1]=t2;
		}
		else
		{
			fa[t2]=t1;//深度一样， 怎么合并都可以
			dfn[t1]++; 
		}
	 } 
}