并查集算法-优快云博客

一共有 n 个数，编号是 1∼n1，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m个操作，操作共有两种：

M a b，将编号为 a和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
Q a b，询问编号为 a和 b的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 n和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a和 b在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤10^5

2.算法解析

一些说明：

1.假如 n==5，就是说有5个元素1~5，分别所属在集合1到5中。

2.p数组存集合的编号，表示是哪个集合。

3.查询元素在哪个集合的函数是find(int x),会返回该元素所在的集合编号。

学习并查集模板，其实学习的就是下面三步

2.1初始化

做法：用一个数组保存对应位置元素所属集合的编号。

模板代码：

 for (int i = 1; i <= n; i++) {
            p[i] = i;
        }

很容易理解，就是将当前元素的父节点指向自己

此时p[1]==1,就表示元素1在集合1中。

用n==5举例，此时代码表示的集合的状态：

2.2合并操作

做法：若想A，B两个集合合并：可以将B集合的集合编号设置为A集合的集合编号。

模板代码：

p[find(B)]=find(A)

此时代码表示的集合的状态：

2.3查找 + 路径压缩

正是因为进行了路径压缩，并查集的时间复杂度接近 0（1）。

先看模板代码：

 public static int find(int x){ //返回x所在的集合编号 + 路径压缩
        //祖先节点的父节点是自己本身
        if(p[x] != x){
            //将x的父亲置为x父亲的祖先节点,实现路径的压缩
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }

路径压缩的最终目的：让一个集合中的任意元素（用x表示）的p[x]里都存储其集合编号。

此时的集合状态:

我们从递归和回溯两方面分析：

最终集合的状态

2.4问题解决代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    /*一共有 n个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。现在要进行 m
        个操作，操作共有两种：M a b，将编号为 a和 b
        的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
        Q a b，询问编号为 a和 b的两个数是否在同一个集合中；*/
    /*输入格式
    第一行输入整数 n和 m。
    接下来 m行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。*/
    static int N = 100010;
    static int[] p = new int[N];

    //并查集的核心操作，寻找根节点祖先 + 路径压缩
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int q = in.nextInt();
        //初始化
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            p[i] = i;
        }
        while (q-- > 0) {
            String s = in.next();
            int a = in.nextInt();
            int b = in.nextInt();
            //合并操作
            if (s.equals("M")) {
                p[find(a)] = find(b);
            } else if (s.equals("Q")) {
                //查找
                if (find(a) == find(b)) {
                    System.out.println("Yes");
                } else {
                    System.out.println("No");
                }
            }
        }
    }

    public static int find(int x){ //返回x所在的集合编号 + 路径压缩
        //祖先节点的父节点是自己本身
        if(p[x] != x){
            //将x的父亲置为x父亲的祖先节点,实现路径的压缩
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }
}

3.变式突破

题目：

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m个操作，操作共有三种：

C a b，在点 a和点 b 之间连一条边，a和 b 可能相等；
Q1 a b，询问点 a和点 b 是否在同一个连通块中，a和 b 可能相等；
Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；

输入格式

第一行输入整数 n和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤10^5

与模板题不同处的说明：

与模板题唯一不同的是，我们要多维护数组size来记录该元素的集合中元素的个数。

1.对于数组size只保证根节点的size有意义。

2.初始化时，还要初始化每个集合内的元素数量为1。

初始化的代码：

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    p[i] = i;
    size[i] = 1;
}

3.合并a和b所在的两个集合
合并集合操作同时要记得维护集合大小关系

比如集合a合并到集合b里的代码：

p[find(a)] = find(b);
    size[b] += size[a];

代码：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    /* 现在要进行 m个操作，操作共有三种：
     C a b，在点 a和点 b之间连一条边，a和 b可能相等；
     Q1 a b，询问点 a和点 b是否在同一个连通块中，a
     和 b可能相等；Q2 a，询问点 a所在连通块中点的数量；*/
   /* 输入格式
    第一行输入整数 n和 m。
    接下来 m行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。
*/
    /*输出格式
    对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a和 b在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。
    对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a所在连通块中点的数量 每个结果占一行。*/
    static int N = 100010;
    static int[] p = new int[N];
    static int[] size = new int[N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            p[i] = i;
            size[i] = 1;
        }
        while (m-- > 0) {
            String s = scanner.next();
            if (s.equals("C")) {
                int a = scanner.nextInt();
                int b = scanner.nextInt();
                if (find(a) != find(b)) {
                    size[find(b)] += size[find(a)];
                    p[find(a)] = find(b);
                }
            } else if (s.equals("Q1")) {
                int a = scanner.nextInt();
                int b = scanner.nextInt();
                if (find(a) == find(b)) {
                    System.out.println("Yes");
                } else {
                    System.out.println("No");
                }
            } else {
                int a = scanner.nextInt();
                System.out.println(size[find(a)]);
            }
        }
    }

    private static int find(int x) {
        if (x != p[x]) {
            p[x] = find(p[x]);
        }
        return p[x];
    }
}

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