夜深人静写算法(五)- 并查集

本文深入探讨了并查集这一数据结构,从“并”和“查”的基本概念出发,详细介绍了朴素算法、森林算法、启发式合并以及路径压缩。通过实例和代码解析,解释了如何通过并查集解决图的连通性、树的判定等问题,并探讨了并查集在元素删除和离线操作中的应用。此外,文章还提供了相关题目的整理,帮助读者巩固理解。

一、前言

  亲爱的读者,你三十岁了吗?
  以前总是讨厌父母的平庸,长大了才发现他们曾经也是怀揣着梦想的少年,只是被生活磨平了棱角。现在的我们走着父母曾经走过的路,却发现也许我们还不如父母,当初他们拿着微薄的工资却养活了我,而我却还是靠着父母几十年的积蓄付了首付。
  小时候总是盼着长大,如果长大后父母依旧辛苦,那我们长大还有什么意义。

二、并查集的原理

1、“并"和"查”

  • 有了深度优先搜索的基础以后,相信你对递归已经有一定的认识,那么今天让我们来认识一下并查集。
  • 并查集是一种处理不相交集合的数据结构。

它支持两种操作:
  1)合并操作 m e r g e ( x , y ) merge(x, y)

### 关于前缀和算法 #### 前缀和的概念 前缀和是一种用于快速计算数组某一段区间的元素之和的技术。通过预先处理得到一个新的数组 `prefix_sum`,其中每一个位置 i 上存储的是原数组从起始位置到当前位置所有元素的累加和。这样可以在常数时间内求得任意子数组的和。 对于长度为 n 的输入序列 A[0...n-1],其对应的前缀和数组 PrefixSum 定义如下: \[ \text{PrefixSum}[i]=\sum_{j=0}^{i}\text{A}[j], (0≤i<n) \][^5] #### C++实现方式 下面是一个简单的C++代码片段来展示如何构建并利用前缀和来进行区间查询: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int nums[] = {1, 2, 3, 4, 5}; const size_t N = sizeof(nums)/sizeof(int); // 构建前缀和数组 long prefix_sums[N]; prefix_sums[0] = nums[0]; for(size_t i = 1; i < N; ++i){ prefix_sums[i] = prefix_sums[i - 1] + nums[i]; } // 查询指定范围内的总和 auto sum_range = [](const long* ps, int start, int end)->long{ if(start == 0) return ps[end]; else return ps[end]-ps[start-1]; }; cout << "The sum of elements from index 1 to 3 is: " << sum_range(prefix_sums, 1, 3); return 0; } ``` 这段代码首先创建了一个名为 `nums` 的整型数组作为示例数据源;接着定义了函数对象 `sum_range()` 来方便地获取给定索引范围内数值的累积和;最后打印出了下标 1 至 3 这个闭合区间内所有数字相加之和的结果. #### 学习资源推荐 针对希望深入理解前缀和技术及其应用场景的人士,《夜深人静算法》系列提供了丰富的案例研究与实践指导。特别是有关整数分块的部分讨论到了一些基于前缀和技巧优化解决方案的实际例子. 此外,“画解强连通”虽然主要关注图论中的强连通组件问题,但也涉及到了多种高效的数据结构算法组合应用实例,可以间接帮助读者更好地掌握包括但不限于前缀在内的各类实用工具[^1].
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