RMQ总结

RMQ

一、定义

1. 定义

$RMQ$ (Range Minimum / Maximum Query) ，即区间最值查询；

可实现对于长度为 $n$ 的数组 $a$ ，进行若干次 $[l,r]$ 区间的查询最值问题；

2. 解决方法

若原数组需要修改，则可使用线段树，树状数组解决，查询修改均为 $O(log(n))$ ；

若原数组不需修改，且查询较多，则可使用ST表解决；

二、ST 表

1. 问题类型

ST 表能解决与重复个数无关的问题，即重复计算不会影响的最终答案的问题，如求最大公约数，区间最值等问题；

2. 时间

ST 表预处理时间复杂度为 $O(n\ast lo{g}_2(n))$ ，对于每一个查询，时间复杂度为 $O(1)$ ；

三、预处理

1. 思路

主要思路为 DP + 递增；

下面以求最大值为例；

2. 状态

求区间的最大值，就先把这个区间分为若干个小区间，分别求到这些小区间的最大值，再将它们合起来求到区间的最大值；而又由于任意一个数都可以表示为若干个 2 的幂次的和 ，所以就将区间拆分成若干个长度为 2 的幂次的小区间，所以定义状态如下：

$dp[i][j]$ 表示从 $i$ 位开始，连续 $2^j$ 个数中的最大值；
则 $dp$ 数组的初始大小为 $dp[n][lo{g}_2(n)]$ ；

3. 初始化

从 $i$ 位开始，连续 1 个数中最大即为原数组中的第 $i$ 位上的数；

i∈[1,n]  {dp[i][0]=a[i]}i \in [1, n] \; \{ dp[i][0] = a[i] \}i∈[1,n]{dp[i][0]=a[i]} ；

4. 状态转移

若要计算 $dp[2][2]$ ，即为求从第二个数字开始，连续四个数的最大值，则将这个区间分为两个长度相等相等的区间 $[2,3]$ 与 $[4,5]$，将这两个区间最大值求最大值，即为 $dp[2][2]$ 的值， dp[2][2]=max⁡{dp[2][1],dp[4][1]}dp[2][2] = \max \{ dp[2][1], dp[4][1] \}dp[2][2]=max{dp[2][1],dp[4][1]} ；

因此，对于计算 $dp[i][j]$ 就将其分为两部分，

1. $[i,i+2^{(j-1)}-1]$ ；

2. $[i+2^{j-1},i+2^j-1]$；

思路如图，

状态转移方程

dp[i][j]=max{dp[i][j−1],dp[i+(1<<j−1)][j−1]} dp[i][j] = max\{dp[i][j - 1], dp[i + (1 << j - 1)][j - 1]\} dp[i][j]=max{dp[i][j−1],dp[i+(1<<j−1)][j−1]}

在求以 $i$ 为起点长度为 $2^j$ 的最大值的答案时，是由两个长度为 $2^{j-1}$ 的答案进行比较得到的。因此在计算长度为 $2^j$ 的答案时，需要把所有的长度为 $2^{j-1}$ 的答案计算出来，所以，应该先枚举 $j$ 再枚举 $i$ ；

在枚举 $j$ 时，由于枚举的是长度，所以需要确保长度 $2^j$ 不超过总的长度 $n$ ； 枚举 $i$ 时，由于枚举的是起点，所以应确保以 $i$ 为起点长度为 $2^j$ 的区间终点 $i+2^j-1$ 小于等于总长度 $n$ ；则，

$$\begin{gathered} 1\le j,2^j\le n； \\ 1\le i,i+2^j-1\le n \end{gathered}$$

5. 代码

void init() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = a[i]; // 初始化
	for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
		for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
			dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
		}
	}
	return ;
}

四、查询

1. 思路

令 $k=lo{g}_2(r-l+1)$ ，查询思路如图；

则取以 $l$ 为起点，长度为 $2^k$ 的区间的最大值与以 $r$ 为终点,长度为 $2^k$ 的区间的最大值的最大值即可；

2. 实现

对于每一次的查询，我们要查询 $[l,r]$ 这个范围的最大值；

则只需要比较区间 $[l,l+2^k-1]$ 与区间 $[r-2^k+1,r]$ 的最大值即可；

ans=max⁡{dp[l][k],dp[r−(1<<k)+1][k]} ans = \max \{dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]\} ans=max{dp[l][k],dp[r−(1<<k)+1][k]}

3. 证明

$dp[l][k]$ 维护的范围是 $[l,l+2^k-1]$ ， $dp[r-(1<<k)+1][k]$ 维护的范围是 $[r-2^k+1,r]$ ；

所以说，只要能够保证 $r-2^k+1<=l+2^k-1$ ，即可保证答案是正确的；

$$\begin{gathered} r-2^k+1\le l+2^k-1 \\ r-l\le 2^{k+1}-2 \\ 2+r-l\le 2\ast 2^k \\ \because k=lo{g}_2(r-l+1) \\ \therefore 2+r-l\le 2\ast (r-l+1) \\ r-l\le 2\ast (r-l) \\ r-l\ge 0 \end{gathered}$$

又由于 $r-l\ge 0$ 是恒成立的，所以原式恒成立；

4. 代码

int query (int l, int r) {
	int k = log2(r - l + 1);
	return max(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
}

五、模板代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
using namespace std;
int n, m, l, r, a[MAXN], dp[MAXN][45];
void init() {
	for (int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = a[i];
	for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
		for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
			dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
		}
	}
	return ;
}
int query (int l, int r) {
	int k = log2(r - l + 1);
	return max(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
}
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	init();
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		scanf("%d %d", &l, &r);
		printf("%d\n", query(l, r));
	}
	return 0;
}