电机控制基础
1.电机基础
1.1 电机基本结构及电压方程
电机结构主要由机壳、转子、定子绕组组成。
三相对称绕组，通入三相对称电压：
$$
u_a = U_mcos(\omega t) \\u_b = U_mcos(\omega t-120°) \\u_c = U_mcos(\omega t-240°) \\\omega=2\pi f
$$
则会在径向方向上产生一个旋转的磁场，带动转子上永磁体旋转。可以将A、B、C三相绕组抽象看成三个交变的磁极，进行磁场的矢量合成。
将三相进行矢量合成，
U
o
u
t
=
k
(
u
a
+
u
b
e
2
π
3
j
+
u
c
e
4
π
3
j
)
U_{out}=k(u_a+u_be^{\frac{2\pi}{3}j}+u_ce^{\frac{4\pi}{3}j})
Uout=k(ua+ube32πj+uce34πj)
结合欧拉公式推导U实部和虚部，
$$
e^{j\gamma }= cos(\gamma)+jsin(\gamma) \
\
Re(U_{out}) = k[u_a + u_bcos{\frac{2\pi}{3}}+u_ccos(\frac{4\pi}{3})] = 1.5kU_mcos(\omega t) \
Im(U_{out}) = k[u_bsin(\frac{2\pi}{3})+u_csin(\frac{4\pi}{3})]=1.5kU_msin(\omega t) \
U_{out} = 1.5kU_m(jsin(\omega t) + cos(\omega t)) = 1.5kU_me^{j\omega t}
$$
其中，Uout即为旋转的电压矢量。
1.2 直轴与交轴
-
直轴（d轴，direct axis）：
-
与主极轴线重合的轴。
-
中心线（主磁场最强）。
-
-
交轴（q轴，quadrature axis）：
- 与主极轴线正交的轴。
- 中性线（主磁场最弱）。
1.3 PMSM与BLDC
1.PMSM
永磁同步电机转子使用永磁体励磁，根据永磁体在转子上安装的位置不同，可以将转子分为以下三类。
永磁体不同的安装位置会导致转子的磁路不同，
永磁体磁阻大于铁芯磁阻，空气的磁阻远大于铁芯。
对于表贴式转子来说，d轴、q轴磁路均为通过空气与铁芯；对于内置式、内埋式来说，d轴磁路通过空气、永磁体和铁芯，因此d轴磁阻大于q轴磁阻，Ld<Lq。
L
=
N
2
1
R
m
(
N
:
匝数
)
L = N^2\frac{1}{Rm}(N:匝数)
L=N2Rm1(N:匝数)
由于两种转子结构不同，导致应用场合也不同：
- 表贴式：控制简单，常用于高精度的工业控制场合。
- 内置式/内埋式：dq轴磁阻相差较大，产生较大的磁阻转矩，常用于弱磁控制的高速运行场合，如电动汽车。
2.BLDC
无刷直流电机主要由定子（线圈绕组）和转子（永磁材料）两部分组成。根据转子和定子的相对位置，可以将BLDC的结构分为：
- 外转子：常用于电动三轮车、四轮车。
- 内转子：电摩、航模。
3.区别与联系
- 充磁方式
BLDC常用径向充磁方式，PMSM常用平行充磁方式，不同充磁方式会影响到磁通密度的分布情况。
磁通密度分布如下：
| 特性 | 平行充磁 | 径向充磁 |
|---|---|---|
| 磁化方向 | 与电机的轴线平行，即磁通方向平行 | 磁通从磁体中心向外辐射，垂直于电机的轴线 |
| 磁场均匀性 | 磁场分布相对不均匀，可能出现磁场热点 | 磁场分布均匀，尤其在较大体积的磁体中表现更好 |
| 磁能积 | 高磁能积，能提供较强的磁场和较大的转矩输出 | 相对较低的磁能积，磁场强度较弱 |
| 制造复杂度 | 需要高精度的制造技术和设备，工艺复杂 | 制造过程相对简单，工艺要求较低 |
| 适用的电机类型 | 高磁能积需求的小型高效电机 | 适用于大尺寸、高功率电机，如风力发电机、汽车电机 |
| 适用的场景 | 高效率、紧凑设计，要求高磁场强度的场合 | 需要均匀磁场分布的场合，如大型电动机、工业应用 |
2.FOC控制框架
使用逆变器合成三相对称电压：
电压方程：
u
a
=
U
m
c
o
s
(
ω
t
)
u
b
=
U
m
c
o
s
(
ω
t
−
120
°
)
u
b
=
U
m
c
o
s
(
ω
t
−
240
°
)
u_a = U_mcos(\omega t) \\ u_b = U_mcos(\omega t - 120°) \\ u_b = U_mcos(\omega t - 240°) \\
ua=Umcos(ωt)ub=Umcos(ωt−120°)ub=Umcos(ωt−240°)
可以将三相电压形成的磁场抽象的看成三个方向可变、大小可变的磁极：
冲量等效定理：冲量相等而形状不同的窄脉冲施加在惯性环节上时，其效果基本相同。
交流电机的控制目标在于：通过控制定子三相电动势，使其能够产生标准的圆形磁场，从三相逆变主电路的角度来讲，利用PWM调制形成相应的正弦波，从反馈与控制的角度来讲，要使得控制信号对给定信号的追踪。
利用坐标变换将三相信号转变为两相α、β信号（Clark），简化控制器数量。
常用的控制方式有两种：
- PR控制器：对正弦信号实现无静差的追踪。
- PI控制器：对直流信号实现无静差的追踪。
习惯上使用PI控制器，因此将α、β信号通过坐标变换（Park）成dq坐标的直流信号。
在三相坐标系下，PMSM的数学模型较为复杂，如在电感矩阵中会出现较多的磁场耦合，这会增加电机分析和控制的难度，因此需要对PMSM的数学模型进行解耦与降阶的处理。目前常有的解耦方式是坐标变换。
FOC控制框架如下：
3.数学模型
电机动力学模型：
J
d
ω
m
d
t
=
T
e
−
T
L
−
B
ω
m
J\frac{d\omega_m}{dt}= T_e-T_L-B\omega_m
Jdtdωm=Te−TL−Bωm
电磁转矩方程：
T
e
=
3
2
n
p
(
Ψ
d
i
q
−
Ψ
q
i
d
)
=
3
2
n
p
[
Ψ
f
i
q
+
(
L
d
−
L
q
)
i
d
i
q
]
T_e=\frac{3}{2}n_p(\Psi_di_q-\Psi_qi_d)=\frac{3}{2}n_p[\Psi_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q]
Te=23np(Ψdiq−Ψqid)=23np[Ψfiq+(Ld−Lq)idiq]
定子电压方程（忽略三相互感影响，可通过工艺实现）：
u
A
=
R
i
A
+
L
d
i
A
d
t
−
ω
e
Ψ
f
s
i
n
θ
u
B
=
R
i
B
+
L
d
i
B
d
t
−
ω
e
Ψ
f
s
i
n
(
θ
−
2
π
3
)
u
C
=
R
i
C
+
L
d
i
C
d
t
−
ω
e
Ψ
f
s
i
n
(
θ
−
4
π
3
)
u_A = Ri_A+L\frac{\mathrm{d}i_A}{\mathrm{d}t}-\omega_e\Psi_fsin\theta \\ u_B=Ri_B+L\frac{\mathrm{d}i_B}{\mathrm{d}t}-\omega_e\Psi_fsin(\theta - \frac{2\pi}{3}) \\ u_C=Ri_C+L\frac{\mathrm{d}i_C}{\mathrm{d}t}-\omega_e\Psi_fsin(\theta - \frac{4\pi}{3}) \\
uA=RiA+LdtdiA−ωeΨfsinθuB=RiB+LdtdiB−ωeΨfsin(θ−32π)uC=RiC+LdtdiC−ωeΨfsin(θ−34π)
经上述分析后，假定气隙磁场成正弦分布，转子以w速度旋转，则有：
ϕ
=
ϕ
m
s
i
n
(
ω
t
)
\phi = \phi_msin(\omega t)
ϕ=ϕmsin(ωt)
设每相匝数为N，根据法拉第电磁感应定律，则有：
e
=
−
N
d
ϕ
d
t
=
−
N
ϕ
m
ω
c
o
s
(
ω
t
)
=
−
2
π
N
ϕ
m
f
c
o
s
(
ω
t
)
e=-N\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}=-N\phi_m\omega cos(\omega t)=-2\pi N\phi_mfcos(\omega t)
e=−Ndtdϕ=−Nϕmωcos(ωt)=−2πNϕmfcos(ωt)
故感应电动势的有效值可写为：
E
=
2
π
N
ϕ
m
f
2
=
4.44
N
ϕ
m
f
E = \frac{2\pi N\phi_mf}{\sqrt{2}} = 4.44N\phi_mf
E=22πNϕmf=4.44Nϕmf
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