[ZOJ3557]How Many Sets II（组合数学Lucas定理）

最新推荐文章于 2021-09-21 12:04:41 发布

wwyx2001

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分类专栏：组合数学

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本文介绍了一道经典插板法问题，并结合快速幂、Lucas定理及费马小定理解决组合数学问题。文章通过具体实例讲解了如何求解Cmn−m+1的计算方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

我是超链接

题解：

这个网站有毒......找到了排队领号的赶脚

这道题是插板法的经典应用
首先我们拿出m个小球，还剩下n-m个小球。这n-m个小球一共有n-m+1个空（左右两边也可以），把这m个小球插入到这n-m+1个空里就是答案，即 Cmn−m+1
这m个小球的编号取决于它插入的位置，所以和选哪个小球没关系

快速幂+Lucas+费马小定理

代码：

#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,Mod;
LL fast_pow(LL a,LL p)
{
	a%=Mod;
	LL ans=1;
    for (;p;p>>=1,a=a*a%Mod)
        if (p&1)
            ans=ans*a%Mod;
    return ans;
}
LL cf(LL sh,LL Mod)
{
	return fast_pow(sh,Mod-2);
}
LL C(int m,int n)
{
	if (n>m) return 0;        
	int i;LL xi=1,sh=1;
	for (i=m-n+1;i<=m;i++) xi=i*xi%Mod;
	for (i=1;i<=n;i++) sh=sh*i%Mod;
	return xi*cf(sh,Mod)%Mod;
}
LL Lucas(int m,int n)
{
	if (n>m) return 0;
	LL ans=1; 
	for (;n;n/=Mod,m/=Mod)
      ans=ans*C(m%Mod,n%Mod)%Mod;
	return ans;
}
int main()
{
	while (scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&Mod)!=EOF)
      printf("%lld\n",Lucas(n-m+1,m));	//从n-m+1个空中选m个 
}