ZOJ 3557 - How Many Sets II（Lucas定理模板）

最新推荐文章于 2021-09-21 12:04:41 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/wafish/p/10465140.html

本文探讨了从n个相同小球中取出m个且不相邻的组合计数问题，给出了解决方案并详细介绍了Lucas定理的应用，用于高效求解组合数的模运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/ZOJ-3557

【题意】
从n个相同小球中取m个小球，不能取相邻的小球的方案数

【思路】
首先拿出 $m$ 个小球，还剩下 $n - m$ 个小球。这 $n - m$ 个小球一共有 $n - m + 1$ 个空（左右两边也可以），把这 $m$ 个小球插入到这 $n - m + 1$ 个空里就是答案，即 $Ans=C_{n-m+1}^{m}$ ，记录一下 $L u c a s$ 定理的模板

Lucas 定理

求解 $C_n^m \ \ (mod p)$
首先将n和m分解为p进制：
$n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+...+n_1p+n_0$ $m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+...+m_1p+m_0$ 那么 $Ans≡∏_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i} \ \ (modp)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=10050;
int mod;

ll pw(ll x,ll n){
	ll ans=1LL;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}

ll inv(ll a){return pw(a,mod-2);}

ll C(int n,int m){
    if(m>n) return 0LL;
    ll up=1LL,down=1LL;
    for(int i=n-m+1;i<=n;++i) up=up*i%mod;
    for(int i=1;i<=m;++i) down=down*i%mod;
    return up*inv(down)%mod;
}

ll Lucas(int n,int m){
	if(m>n) return 0LL;
    ll ans=1LL;
    for (;m;n/=mod,m/=mod)
        ans=ans*C(n%mod,m%mod)%mod;
    return ans;
}

int main(){
	int n,m;
	while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod)==3){
		printf("%lld\n",Lucas(n-m+1,m));
	}
	return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/wafish/p/10465140.html