对称矩阵的特征向量两两正交的证明

本文探讨了对称矩阵的性质,证明了对称矩阵的不同特征值对应的特征向量两两正交。通过数学推导,展示了如何利用特征向量和特征值的关系得出这一结论。

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对称阵有一个很优美的性质:它总能相似对角化,对称阵不同特征值对应的特征向量两两正交。
假设矩阵AAA是一个对称矩阵, xix_ixixjx_jxj 是矩阵AAA 的任意两个特征向量,λi\lambda_iλiλj\lambda_jλj 是与xix_ixixjx_jxj 相对应的特征值,则有:

Axi=λixi(1)Ax_i = \lambda_ix_i \qquad (1)Axi=λ

### 矩阵特征向量之间的正交性 矩阵的特征向量不一定相互正交。这取决于矩阵本身的性质。对于一般矩阵而言,不同特征值对应的特征向量可以是线性无关的,但并不一定正交。 然而,如果矩阵是对称矩阵,则情况有所不同。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量必定正交[^1]。这意味着,在这种特殊情况下,不仅存在多个特征向量,而且这些特征向量之间满足正交条件。 另外,对于正交矩阵来说,其所有的特征向量都是两两正交的,并且模长为1。这是因为正交矩阵定义上就要求列向量构成一组标准正交基[^2]。 因此,是否正交主要依赖于具体类型的矩阵及其属性: - **一般矩阵**:特征向量可能既不是标准化也不是正交化的。 - **实对称矩阵**:不同特征值对应特征向量必然正交。 - **正交矩阵**:所有特征向量都彼此正交并具有单位长度。 ```python import numpy as np # 创建一个随机对称矩阵作为例子 A = np.random.rand(3, 3) symmetric_matrix = A @ A.T # 计算该对称矩阵的特征值和特征向量 eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(symmetric_matrix) print("Eigenvalues:", eigenvalues) print("Eigenvectors:\n", eigenvectors) # 验证特征向量间的正交性 (计算内积应接近0) orthogonality_check = eigenvectors[:, 0].dot(eigenvectors[:, 1]) print(f"Dot product of two different eigenvectors: {orthogonality_check}") ```
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