对称矩阵的特征向量两两正交的证明

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本文探讨了对称矩阵的性质，证明了对称矩阵的不同特征值对应的特征向量两两正交。通过数学推导，展示了如何利用特征向量和特征值的关系得出这一结论。

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对称阵有一个很优美的性质：它总能相似对角化，对称阵不同特征值对应的特征向量两两正交。
假设矩阵AAA是一个对称矩阵， xix_ixi​和xjx_jxj​ 是矩阵AAA 的任意两个特征向量，λi\lambda_iλi​和λj\lambda_jλj​ 是与xix_ixi​和xjx_jxj​ 相对应的特征值，则有：

Axi=λixi(1)Ax_i = \lambda_ix_i \qquad (1)Axi​=λ

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线性代数 (一): 证明实对称矩阵特征向量正交
王成昊的博客
04-04 1万+
设矩阵AAA有特征值λ1\lambda_1λ1​及特征向量u,λ2\bold u, \lambda_2u,λ2​及特征向量 v\bold vv 即 Au=λ1uA\bold u = \lambda_1 \bold uAu=λ1​u Av=λ2vA\bold v = \lambda_2\bold vAv=λ2​v 则 vT(Au)=λ2vTu\bold v^T (A \bold u) = \lamb...
对称矩阵特征向量正交推导
btchengzi0的专栏
02-25 1万+
对于对称方阵A，如有特征解λ1对应特征向量p1，特征解λ2对应特征向量p2，根据特征向量的定义，有： A * p1 =  λ1 * p1 ① A * p2 =  λ2 * p2 ② 如p1和p2正交，则必有p1' * p2 = 0，欲证明此式，可构造非零表达式常数K，使得K * (p1' * p2) = 0，而因λ1和λ2是不同的特征解，即λ1 != λ2，故K式可为λ2 - λ1，下面
对称矩阵特征向量正交的推导
fannqin的博客
08-21 9919
对于对称方阵A，如有特征解对应特征向量，特征解对应特征向量，根据特征向量的定义，有： 如和正交，则必有。 欲证明此式，可构造非零表达式常数K，使得，而因和是不同的特征解，即，故K式可为，下面来构造此式： ① 左乘，得： ②左乘,得： 由于和都是列向量，故结果为1X1矩阵，亦即,（3）式等价于： （4） -（5）式，得 （6）式等号左边为： ， 又因A是对称矩阵，故有，故（7）可化为： 故（6）等式右边 ， 因，故必为0，亦即和正交，证毕。 ...
实对称矩阵的基本性质与证明
最新发布
2501_90669630的博客
06-27 1372
实对称矩阵A\mathbf{A}A。
线性代数｜证明：实对称矩阵特征向量正交
长行
10-17 2912
线性代数学习笔记
证明：实对称矩阵中，属于不同特征值的特征向量相互正交
weixin_33749131的博客
01-10 1万+
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AI理论随笔-对称矩阵、正交矩阵与特征向量，特征值（1）
麦好的AI乐园
10-01 8828
一、对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。 如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，则称A为实对称矩阵。比如： A=[1272317111] A=\begin{bmatrix} 1 & 2&7\\ 2&...
AI理论随笔-对称矩阵、正交矩阵与特征向量，特征值（2）
麦好的AI乐园
10-01 4104
如果：AAT=EAA^T=EAAT=E（E为单位矩阵，ATA^TAT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=EA^TA=EATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件： (1) ATA^TAT是正交矩阵 (2) E为单位矩阵 (3) A的各行是单位向量且两两正交 (4) A的各列是单位向量且两两正交 (5) $ (Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R$ (6) ∣A∣=1|A|...
雅克比方法求矩阵特征值和特征向量
06-27
这种方法的理论基础是，对于任意阶实对称矩阵，都能找到一个正交矩阵，使得该矩阵与原矩阵的乘积为一个对角矩阵，对角线上的元素即为原矩阵的特征值，而正交矩阵的列向量则是对应的特征向量。该方法的名称源自德国...
实对称矩阵特征值和特征向量PPT学习教案.pptx
10-02
"实对称矩阵特征值和特征向量PPT学习教案.pptx" 本PPT学习教案主要讲解了向量的内积、长度、正交性、施密特正交化方法、正交矩阵等概念。 一、向量的内积 定义：设α = (a1, a2, …, an)T, β = (b1, b2, …, bn)...
3D 矩阵
naooomi的专栏
01-01 1728
矩阵--数学定义：在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块。向量是标量的数组，矩阵则是向量的数组。 方阵：行数和列数相同的矩阵称作方阵。方阵的对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素。 对角矩阵：所有非对角线元素都为0. 单位矩阵：是一种特殊的矩阵。因为它是矩阵的乘法单元。其基本性质是用任意一个矩阵乘以单位矩阵，都将得到原矩阵。 向量作为矩阵使用：矩阵的行数和列数可以是任意正整数
3D游戏开发中的矩阵详解
voidinit的专栏
08-02 869
矩阵很多同学没有接触过，所以感觉很难，很复杂，其实只要学过矩阵的同学都知道，矩阵运算并不难。今天我们给大家讲讲游戏开发中的矩阵的运算。这里有个游戏开发交流小组 大家可以一起来学习交流哦1:矩阵是什么?矩阵是描述线性变换的一种数学工具,线性变换指的是使用一次函数从一个空间变换到另外一个空间。例如在空间A中的一个2维向量（xa, ya）变换到空间B，使用一次线性函数变换后得(xb, yb)。xb = A*xa + B*ya + C;yb = M*xa + N*ya + D;上述变换中，xb 是由xa, ya 经
3D数学之矩阵
东北砍王的栖息地
04-05 539
矩阵是啥？ 以 行 和 列 形式组织的矩形数字块（类似 二维数组） 矩阵的维度和记法： r x c 矩阵代表：r行，c列 1 x n：行向量 n x 1：列向量 矩阵第一行和第一列其实索引都是1 （一般不用数组表达矩阵容易混） 方阵： 行数和列数相同的矩阵 如果非对角线元素都是0，那么叫做对角矩阵 单位矩阵： 特殊的对角矩阵，对角线元素都是1，其他元素都是0 转置： 对角线翻折 可以把行向量变成列向量，列向量称为行向量 标量和矩阵的乘法： 矩阵M和标量k相乘，用k乘以M每个元素，得到一个和M维度相同的矩阵
2011 3D 八卦图 矩阵图
hong2511的博客
12-31 7260
本文转载自：https://www.cnblogs.com/dba_xiaoqi/archive/2011/06/26/2090829.html 作者：dba_xiaoqi 转载请注明该声明。 下面是福彩3D的八卦图，和矩阵图，具体的用法图上都有说明。希望你能中奖。 ...
3D数学---矩阵
痞子龙3D编程
04-03 3992
Jim Peng 的 3D数学---矩阵矩阵是3D数学的重要基础，它主要用来描述两个坐标系间的关系，通过定义一种运算而将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块，向量是标量的数组，矩阵是向量的数组。 矩阵的维度和记法矩阵的维度被定义为它包含了多少行多少列，一个 r x c 矩阵有r行c列。用黑体大写字母表示矩阵，如：M、A、R。需要
3D数学-矩阵
weixin_49299600的博客
04-14 2265
旋转矩阵的推导大概有两种方式，简单的说，一种是正推，一种是反推。 2D旋转矩阵公司推导 - 正推 先推公式，在写成矩阵形式 待定... 2D旋转矩阵公式推导 - 反推 先举个小例子，以便快速理解其思路。 假设我现在给你一个式子，a = xb，且告诉你，在a = 2，b = 1的情况下，该式是成立的，那我们代入后，很容易就能得出，系数x = 2，这就是反推的思路。 我们假设旋转矩阵的公式成立，那就说明，无论什么情况下，该公式都成立，那我们就手动的找一些特殊的点，来反推就好了 假设P' = 矩阵
3D图形学 矩阵(2)
怨行客
08-17 1098
1.方阵—行数和列数相同的矩阵，它的对角线元素就是行列相同的元素；对角矩阵—除对角线元素都是零；单位矩阵—对角线元素都是一的对角矩阵 2.转置—就是行变成列 3.矩阵乘法—矩阵A的列数要和B的行数相等，得到的矩阵是A的行数，B的列数 Cij=A i行与 Bj列元素的点积...
对称矩阵的特征值与特征向量
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guanguanboy的专栏
08-20 4万+
对称矩阵： A = A的转置 这里讨论的是实对称矩阵 两个好的性质： 1， 特征值是实数 2，特征向量是两两正交的   一个对称矩阵A可以进行如下分解： A=QQ的转置   对于对称矩阵来说，有一个性质：主元的符号与特征值得符号是相同的。即正主元的个数等于正的特征值的个数。   正定矩阵：首先是一个对称矩阵，是对称矩阵一个很好的子类。正定矩阵的所有特征值都是正数。所有的主元都...
矩阵的特征向量之间相互正交吗
01-01
### 矩阵特征向量之间的正交性 矩阵的特征向量不一定相互正交。这取决于矩阵本身的性质。对于一般矩阵而言，不同特征值对应的特征向量可以是线性无关的，但并不一定正交。 然而，如果矩阵是对称矩阵，则情况有所不同。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量必定正交[^1]。这意味着，在这种特殊情况下，不仅存在多个特征向量，而且这些特征向量之间满足正交条件。 另外，对于正交矩阵来说，其所有的特征向量都是两两正交的，并且模长为1。这是因为正交矩阵定义上就要求列向量构成一组标准正交基[^2]。 因此，是否正交主要依赖于具体类型的矩阵及其属性： - **一般矩阵**：特征向量可能既不是标准化也不是正交化的。 - **实对称矩阵**：不同特征值对应特征向量必然正交。 - **正交矩阵**：所有特征向量都彼此正交并具有单位长度。 ```python import numpy as np # 创建一个随机对称矩阵作为例子 A = np.random.rand(3, 3) symmetric_matrix = A @ A.T # 计算该对称矩阵的特征值和特征向量 eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(symmetric_matrix) print("Eigenvalues:", eigenvalues) print("Eigenvectors:\n", eigenvectors) # 验证特征向量间的正交性 (计算内积应接近0) orthogonality_check = eigenvectors[:, 0].dot(eigenvectors[:, 1]) print(f"Dot product of two different eigenvectors: {orthogonality_check}") ```
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