整体二分题解-优快云博客

整体二分算法题解

整体二分（Parallel Binary Search）是一种用于解决多组查询问题的有效算法，特别适用于每组查询的答案都可以通过二分查找来确定的情况。

算法思想

你说得对，整体二分的基本思想就是将所有查询一起处理，通过二分答案区间，同时对多个查询进行判定和分类。这种方法的优势在于可以共享计算过程，减少重复计算。

那么，二分该如何分呢？

对于数值，简单地把所有的数值按值域割开；对于查询，按照查找结果是否应在左区间，如果是，直接放在左区间；否则就放在右区间。

但对于上面放在右区间的操作，我们需要消除左区间对该查询操作的贡献，具体的可以画个图理解一下（老师的图不敢搬qwq）。

例题

1. 区间第 $k$ 小

问题模型：在一个数列中查找某区间的第 $k$ 小。

模板+树状数组

为了方便，这里把数组的每一个数都看成一次修改操作。

可以发现，在分割查看所属区间时，我们直接暴力查找会悲催地 TLE，于是我们就想到了可以套一个数据结构——树状数组中，单点加，区间查询即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int ans[N],n,m,cnt;
map<int,int> hash_,rh;
struct node{
	int val,pos;
}a[N];
struct qurr{
	int L,R,id,k,type;
}b[N];
int s;
qurr q1[N],q2[N];
int cnt1,cnt2;
int tr[N];
int tt;
bool cmp(node x,node y)
{
	return x.val<y.val;
}
int qur(int p)
{
	int ans=0;
	while(p)
	{
		ans+=tr[p];
		p-=p&(-p);
	}
	return ans;
}
void add(int p,int x)
{
	while(p<=n)
	{
		tr[p]+=x;
		p+=p&(-p);
	}
}
void solve(int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql>qr) return ;
	if(l==r)
	{
		for(int i=ql; i<=qr; i++)
		{
			if(b[i].type==2) ans[b[i].id]=rh[l];
		}
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2,cnt1=0,cnt2=0;
	for(int i=ql; i<=qr; i++)
	{
		if(b[i].type==1)
		{
			if(b[i].L<=mid)
			{
				add(b[i].id,1);
				q1[++cnt1]=b[i];
			}
			else
			{
				q2[++cnt2]=b[i];
			}
		}
		else
		{
			int x=b[i].L;
			int y=b[i].R;
			int tem=qur(y)-qur(x-1);
			if(b[i].k>tem) b[i].k-=tem,q2[++cnt2]=b[i];
			else q1[++cnt1]=b[i];
		}
	}
	for(int i=1; i<=cnt1; i++)
	{
		if(q1[i].type==1) add(q1[i].id,-1);
	}
	for(int i=1; i<=cnt1; i++)
	{
		b[i+ql-1]=q1[i];
	}
	for(int i=1; i<=cnt2; i++)
	{
		b[i+cnt1+ql-1]=q2[i];
	}
	solve(l,mid,ql,cnt1+ql-1);
	solve(mid+1,r,cnt1+ql,qr);
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>a[i].val;
		a[i].pos=i;
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		int tem=a[i].val;
		if(!hash_[tem])
		{
			hash_[tem]=++cnt;
			rh[cnt]=tem;
		}
		b[++s]={hash_[tem],-1,a[i].pos,-1,1};
	}
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		int x,y,k;
		cin>>x>>y>>k;
		b[++s]={x,y,i,k,2};
	}
	solve(0,cnt+1,1,s);
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		cout<<ans[i]<<"\n";
	}
	
	return 0;
}

2. 带修改的区间第k小

问题模型：修改某数值+查询局部第 $k$ 小值。

大佬们可能会使用主席树，但这题我还是主要介绍整体二分的做法趴~

同样的，我们也把数组的数堪称修改操作，把修改和查询合并，用一个标识符 $t y p e$ 记录操作类型。

为了方便，我们可以把修改转化为加减，即 $a_i=y$ 转化为 $a_i-=a_i,a_i+=y$ 。

主要的实现就是这些。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int ans[N],n,m,cnt;
map<int,int> hash_,rh;
int a[N];
struct qurr{
	int L,R,id,k,dx,type;
}q[N];
qurr q1[N],q2[N];
int cnt1,cnt2;
int tr[N];
int tt;
int qur(int p)
{
	int ans=0;
	while(p)
	{
		ans+=tr[p];
		p-=p&(-p);
	}
	return ans;
}
void add(int p,int x)
{
	while(p<=n)
	{
		tr[p]+=x;
		p+=p&(-p);
	}
}
void solve(int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql>qr) return ;
	if(l==r)
	{
		for(int i=ql; i<=qr; i++)
		{
			if(q[i].type==2) ans[q[i].id]=l;
		}
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2,cnt1=0,cnt2=0;
	for(int i=ql; i<=qr; i++)
	{
		if(q[i].type==1)
		{
			if(q[i].R<=mid)
			{
				add(q[i].id,q[i].dx);
				q1[++cnt1]=q[i];
			}
			else
			{
				q2[++cnt2]=q[i];
			}
		}
		else
		{
			int x=q[i].L;
			int y=q[i].R;
			int tem=qur(y)-qur(x-1);
			if(q[i].k>tem) q[i].k-=tem,q2[++cnt2]=q[i];
			else q1[++cnt1]=q[i];
		}
	}
	for(int i=1; i<=cnt1; i++)
	{
		if(q1[i].type==1) add(q1[i].id,-q1[i].dx);
	}
	for(int i=1; i<=cnt1; i++)
	{
		q[i+ql-1]=q1[i];
	}
	for(int i=1; i<=cnt2; i++)
	{
		q[i+cnt1+ql-1]=q2[i];
	}
	solve(l,mid,ql,cnt1+ql-1);
	solve(mid+1,r,cnt1+ql,qr);
}
int sum;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>a[i];
		q[++sum]={i,a[i],i,-1,1,1};
	}
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		string op;
		cin>>op;
		int x,y,k;
		if(op=="Q")
		{
			cin>>x>>y>>k;
			q[++sum]={x,y,i,k,-1,2};
		}
		else
		{
			cin>>x>>y;
			q[++sum]={x,a[x],x,-1,-1,1};
			q[++sum]={x,y,x,-1,1,1};
			a[x]=y;
		}
	}
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		ans[i]=-1;
	}
	solve(0,1e9,1,sum);
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		if(ans[i]!=-1)
		{
			cout<<ans[i]<<"\n";
		}
	}
	
	return 0;
}