BZOJ 2440 浅谈莫比乌斯函数性质推导

最新推荐文章于 2020-09-23 19:32:06 发布

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本文探讨了莫比乌斯函数在数论中的重要性，特别是其在容斥原理中的作用。通过定义和性质，阐述了如何利用莫比乌斯函数解决寻找第k个莫比乌斯函数值不为0的数的问题，揭示了其在计数不含完全平方因子的数上的应用。文章最后给出了问题的解决方案和代码实现。

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这里写图片描述
世界真的很大
莫比乌斯绝不是只有反演而已，其本身就是一个非常值得专研的函数
本质上来讲大概是指容斥时的系数规划，但也由此演化出了各种各样的有意思的东西
看题先：

description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。
然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

input:

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

output：

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

既然谈到了莫比乌斯函数就首先来谈谈定义
对于任意一个自然数A，首先由唯一分解定理可得：
A=p1^a1*p2^a2 p3^a3 …………（p是质数）
当A等于1是，莫比乌斯函数值为1
当有一个a>=2时，莫比乌斯函数值为0
当所有a都是1时，有几个p就是-1的几次方
而对于一个含有完全平方因子的数来说，其莫比乌斯函数值一定是0
我们其实要找的就是第k个莫比乌斯函数值不为0的数
考虑二分一个mid，判断mid一下有多少个不含完全平方因子的数
大概就是用mid减去那些含有平方因子的数的个数
mid减去含有4的因子的数的个数，再减去含有9的数的个数，但是需要再补上含有36的数的个数，因为算重了
这里就是容斥原理了
而而决定该加该减的就是莫比乌斯函数值了
所以说莫比乌斯函数是容斥原理的系数规划。
完整代码：

#include<stdio.h>
typedef long long dnt;

int T,K,ptot=0;
dnt primes[200010],isnot[200010],mu[200010];
void init(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!isnot[i])
        {
            primes[ptot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int t=0;t<ptot;t++)
        {
            int j=primes[t]*i;
            if(j>n) break ;
            isnot[j]=1;
            mu[j]=mu[i]*-1;
            if(i%primes[t]==0)
            {
                mu[j]=0;
                break ;
            }
        }
    }
}

bool check(int x)
{
    dnt rt=0;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)
        rt+=x/(i*i)*mu[i];
    return rt>=K;
}

int main()
{
    init(100010);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&K);
        dnt lf=0,rg=K<<1,ans=0;
        while(lf<=rg)
        {
            dnt mid=(lf+rg)>>1;
            if(check(mid))
            {
                ans=mid;
                rg=mid-1;
            }
            else
                lf=mid+1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}
/*
EL PSY CONGROO
*/

嗯，就是这样