BZOJ 2732 浅谈计算几何之半平面交

世界真的很大
从第一次接触计算几何（详见这里）到现在，不知不觉已经半年了，但一直没有再学些什么东西
最近恶狠狠地补了一波算几，正好想起来好之前学二分的时候还剩了一道二分加半平面交的题，当时还不会做这玩意儿，于是乎就搁置了，现在想起来，赶快补做
但是调起来确实很恶心，居然一个大于小于号打错了调了我半天
看题先：

description:

沫沫最近在玩一个二维的射箭游戏，如下图 1 所示，这个游戏中的 x 轴在地面，第一象限中有一些竖直线段作为靶子，任意两个靶子都没有公共部分，也不会接触坐标轴。沫沫控制一个位于(0,0)的弓箭手，可以朝 0 至 90?中的任意角度（不包括 0度和 90度），以任意大小的力量射出带有穿透能力的光之箭。由于游戏中没有空气阻力，并且光之箭没有箭身，箭的轨迹会是一条标准的抛物线，被轨迹穿过的所有靶子都认为被沫沫射中了，包括那些 只有端点被射中的靶子。这个游戏有多种模式，其中沫沫最喜欢的是闯关模式。在闯关模式中，第一关只有一个靶 子，射中这个靶子即可进入第二关，这时在第一关的基础上会出现另外一个靶子，若能够一箭 双雕射中这两个靶子便可进入第三关，这时会出现第三个靶子。依此类推，每过一关都会新出 现一个靶子，在第 K 关必须一箭射中前 K 关出现的所有 K 个靶子才能进入第 K+1 关，否则游戏 结束。沫沫花了很多时间在这个游戏上，却最多只能玩到第七关“七星连珠”，这让她非常困惑。 于是她设法获得了每一关出现的靶子的位置，想让你告诉她，最多能通过多少关

input:

输入文件第一行是一个正整数N，表示一共有N关。接下来有N行，第i+1行是用空格隔开的三个正整数xi，yi1，yi2(yi1<yi2 )，表示第i关出现的靶子的横坐标是xi，纵坐标的范围是从yi1到yi2 。
输入保证30%的数据满足N≤100，50%的数据满足N≤5000，100%的数据满足N≤100000且给 出的所有坐标不超过109 。

output

仅包含一个整数，表示最多的通关数。

首先由“最多”等字眼，而且通关必须是前多少关，想到二分，每次check有没有一条抛物线能够通过前mid关（mid是二分的值）
这个还是比较好想的，关键是怎么check
考虑一个抛物线的方程，由于已经固定了一个点为0,0，所以可以第一步确定方程为y=ax^2+bx，考虑前mid关可以考虑成前mid个不等式，每一个不等式形如：y1<=ax^2+bx<=y2，我们要做的就是check有没有满足前mid个方程的解
首先明确我们所说的方程的解是指什么，是指有没有这样的一个方程在前mid个不等式里有公共解，而唯一确定抛物线的变量并不是x和y，而是a和b，也就是说，这里的a和b才是真正的未知数
反过来讲，对于每一个方程，我们都有其x和y值，进一步明确了x与y并不是要求解的未知数，而是已知量
就是说我们想要知道存不存在一组a，b使得方程满足前mid个不等式，而且我们不需要求出一组解，只是需要知道存不存在就好
就是说我们想要知道前mid个不等式有没有公共解
考虑不等式与直线的关系（初，高中 数学课内容）
每一个一元一次不等式都可以在平面直角坐标系上表示成一条直线的上面或是下面
就是判断这些直线表示的区域有没有公共部分
接下来就是半平面交了
对于程序而言，我们不可能判断每一个不等式是直线的上面还是下面，太麻烦，于是乎我们给出直线的表示方法就略有不同
直线由一个点和一个矢量给出，我们约定，不等式表示的范围是矢量的左边
这是把实际问题转化为计算机能解决的问题的第一步，就是尽可能的简化给出条件的标准
对于很多条直线的公共区域（假设有），一定是由很多个交点充当顶点的多边形（有可能不是封闭的。。假设嘛）。考虑如果存在这样一个多边形，在所有直线的左边，那么等价于原不等式组有解
我们想要这个多边形
所以需要保存多边形的边与点。
考虑若已经有了一个多边形，再加一条直线进来，如果这个直线与多边形没有交点，并且多边形在直线的左边，那么直线就是没有用的。
反之如果直线与多边形有交点，那么那些与多变交点在直线外面的点，也是对于答案没有贡献的
也就是说，在枚举边查找多边形的构成中，我们会对已经找到的边进行弹出操作，而且弹出无关乎是不是最近的边，只要2没有贡献，都需要被弹走
这个性质决定了维护多边形的数据结构只能是队列
顺便一说为什么我们在过程中一直强调左边或者右边呢?数学课上好像没有关于这些左边右边的强调啊？
其实包括我们约定直线的表达式也好，之所以在算几中如此强调左边右边，是因为算几有一个很好用的工具，矢量的叉积，为了活用叉积的特性，我们很多情况下都会去人为地规定表达的方式
然后我们需要考虑枚举的顺序，由于约定好了每条直线都带有方向，我们想要的是一个类似于凸包的类多边形的存在，所以我们希望枚举的顺序是顺时针或者逆时针的
考虑凸包的求法，我们考虑极角排序
然后按极角序去枚举每一条边，看对于当前维护的答案区域（多边形）有没有影响，就是看最靠近当前直线的交点在不在当前直线的左边，弹出
然后需要特别判一下有直线平行的情况，判断那一条直线更靠左，来判断保留哪一条
完整代码：

#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

const long double eps=1e-15;

struct vec
{
    long double x,y;
    vec(long double _ = .0,long double __ = .0):x(_),y(__) {}  
}p[100010];

struct Line
{
    vec p,u;
    long double ang ;
    Line(vec _,vec __):p(_),u(__) {  
        ang = atan2(u.y,u.x);  
    }  
    Line() {}  
}a[400010],q[100010];

vector <Line> vb;

int tot=0;

int sign(long double x)
{
    return (x > -eps) - (x < eps);
}

bool operator <(const Line &r, const Line &s) 
{
    return r.ang < s.ang;
}

bool operator ==(const Line &r, const Line &s) 
{
    return sign(r.ang - s.ang) == 0;
}

vec operator +(const vec &r, const vec &s) 
{
    vec c;
    c.x= r.x + s.x,c.y=r.y + s.y;
    return c;
}
vec operator -(const vec &r, const vec &s) 
{
    vec c;
    c.x=r.x - s.x,c.y=r.y - s.y;
    return c;
}
vec operator *(const vec &r, long double s) 
{
    vec c;
    c.x=r.x * s,c.y=r.y *s;
    return c;
}
vec operator /(const vec &r, long double s) 
{
    vec c;
    c.x=r.x / s,c.y=r.y / s;
    return c;
}

long double cross(vec a,vec b)
{
    return a.x*b.y-b.x*a.y;
}

vec gvc(vec a,vec b)
{
    vec c;
    c.x=b.x-a.x,c.y=b.y-a.y;
    return c;
}

vec CrsPot(vec P,vec u,vec Q,vec v)
{
    long double t=cross(gvc(P,Q),v)/cross(u,v);
    return P+u*t;
}

bool onleft(const Line &l, const vec &p) 
{
    return cross(l.u,p-l.p) >= 0;
}

vec CrsLne (const Line &a, const Line &b) 
{
    return CrsPot (a.p,a.u,b.p,b.u);
}

inline bool HPC(vector <Line> va)  
{ 
    sort(va.begin(),va.end());
    int front=0,tail=0,n=va.size();  
    q[0]=va[0];  
    for(int i=1;i<n;++i) 
    {  
        while(front<tail&&!onleft(va[i],p[tail-1])) --tail;  
        while(front<tail&&!onleft(va[i],p[front])) ++front;  
        if(fabs(cross(q[tail].u,va[i].u))<eps)  
            q[tail]=onleft(va[i],q[tail].p)?q[tail]:va[i];  
        else q[++tail]=va[i];  
        if(front<tail) p[tail-1]=CrsLne(q[tail],q[tail-1]);  
    }  
    while(front<tail&&!onleft(q[front],p[tail-1])) --tail;  
    return tail-front>1;  
} 

bool check(int mid)
{
    mid<<=1;
    vb.clear();
    for(int i=1;i<=mid;i++)
        vb.push_back(a[i]);
    return HPC(vb) ;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        double k,y1,y2;
        scanf("%lf%lf%lf",&k,&y1,&y2);
        a[++tot] = Line(vec(0,y2 / k),vec(-1 / k,1));  
        a[++tot] = Line(vec(0,y1 / k),vec(1 / k,-1));  
    }
    int lf=1,rg=n,ans=1;
    while(lf<=rg)
    {
        int mid=(lf+rg)>>1;
        if(check(mid))
        {
            ans=mid;
            lf=mid+1;
        }
        else
            rg=mid-1;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
/*
EL PSY CONGROO
*/

嗯，就是这样