SPOJ-SQFREE SPOJ4168 莫比乌斯函数の性质

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ACM--莫比乌斯反演同时被 2 个专栏收录

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本文介绍SPOJ-SQFREE题目求解方法，利用莫比乌斯函数的性质，通过线性筛预处理质数及mu值，并采用容斥原理计算1e14内无平方因子数的数量。

//题意：SPOJ-SQFREE，SPOJ4168求1e14内有多少个无平方因子数
//思路：莫比乌斯函数的性质。。实际上就是mu[i]^2的前缀和S
//然而直接搞会超时，S有Osqrtn的求法。公式的证明是容斥。 


#include 
#include
#include
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e7+5;
int prime[N],primesize,mu[N];
int sum[N];
bool isprime[N];
//线性筛可以预处理prime和isprime
//在这过程中可以预处理积性函数f，  比如mu phi d
//4个加代码的地方要自己加 要取模就每一步都取模 
//比如预处理欧拉函数 预处理mu,均有模板
//反演的题会用到这个
//prime从prime[1]开始
void getlist(int listsize)//预处理的范围 指i*prime[j]的最大值
{
	memset(isprime,1,sizeof(isprime));
	isprime[1]=false;
	mu[1]=1;
	mu[0]=0;
	//A从2开始，所以这里加f(1)=?;
	for(int i=2; i<=listsize; i++)
	{
		if(isprime[i])
		{
			prime[++primesize]=i;
			//B加代码 质数的情况  
			mu[i]=-1;
		}
		//这里的prime[j]一定是最小质因子
		for(int j=1; j<=primesize&&i*prime[j]<=listsize; j++)
		{
			isprime[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				//C加代码 不互素的情况  一般考虑f(p^k)与p的关系 
				mu[i*prime[j]] = 0;
				break;
			}
			else
			{
				//D加代码 互素的情况
				mu[i*prime[j]] = -mu[i];
			}

		}
		//E可加前缀和代码
	//	mu[i]+=mu[i-1];
	}
//	sum[0]=0;
//	for(int i=1; i<=N; i++)
//		sum[i]=mu[i]+sum[i-1];
}
int main()
{
	getlist(N);//
//	for(int i=1; i<=100; i++)
//		cout<<i<<" "<<mu[i]<<endl;
	int T=0;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		ll n;
		scanf("%lld",&n);
		ll ans=0;
		int next=0;
		for(ll i=1; i<=(ll)sqrt(n); i++)
		{
		//	next=n/(n/(i*i));
			ans+=1ll*(n/(i*i))*(mu[i]);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}  sss

补充：公式推导