UVA 11478 浅谈差分约束SPFA判负环

最新推荐文章于 2020-09-21 22:53:27 发布

BerryKanry

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分类专栏：最短路

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本文探讨了图论中的一个有趣问题，通过使用差分约束系统和SPFA算法解决了一个关于有向图边权变化的问题。该问题要求找出在特定操作后，图中最小的正边权最大值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里写图片描述
世界真的很大
图论的算法是个神奇东西
上次做了这道题就深有感触了
差分约束也是个差不多的道理，spfa
先看下题吧：
description：

给定一个有向图，边有权值，每次操作指定一个点u，一个值d，使所有u的出边+d，所有入边-d。问经过数次操作后，最小正边权最大为多少。如可以无限大就输出Infinite，如不能为正就输出No Solution

input

多组数据，输入到EOF
每组数据第一行包含2个整数n（点），m（边）
接下来m行每行包含3个整数u，v，w
表示u到v有一条边权为w的边

output

每组数据一个输出表示答案

要求输出最小的最大，自然想到二分答案
每次二分一个权值val，check能否找到一个方案使所有边的权值大于val
考虑任意一个点，他的每条入边和每条出边的增加（减少）的量肯定是相同的，设为sumi
考虑一条边（a，b），其操作之后的权值为w（a，b）+suma-sumb ，权值是大于val的，所以：
w（a，b）+suma-sumb > val
移相之后得到：
sumb-suma <= w(a,b)-val
sumb <= w(a,b)-val + suma
这就是差分约束的典型等式了
考虑SPFA中处理的等式
dis[v]< w(u,v) + dis[u]
不是有点相似吗，这里w(a,b)-val和w(u,v)都是一个固定的常量，像这样的这一串式子就可以用像SPFA的方法处理它，如果SPFA能跑出来就说明跑出来了一组可行解，suma就是a点的dis值
如果跑不出来，说明有负环，说明找不到一组可行解
那对于sumb <= w(a,b)-val + suma
我们就连一条a到b，权值为w(a,b)-val的边，SPFA需要一个源点，因为是单源最短路嘛，所以我们就加一个无关紧要的源点S，使其与所有点连边，边权为0
题目规定了上界，所以只要判一下val为最上界是否满足有解，如果是，就输出Infinite
题目规定为正数，所以判一下下界1，如果都不行，无解的话就输出No Solution
完整代码：

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

struct edge
{
    int v,last,w;
}ed[100010];

queue <int> state;

int head[100010],dis[100010],se[100010],book[100010];
int n,m,ans,num=0,S=0,big=0;

void init()
{
    num=0,ans=0,S=0,big=0;
    memset(head,0,sizeof(head));
}

void add(int u,int v,int w)
{
    num++;
    ed[num].v=v;
    ed[num].w=w;
    ed[num].last=head[u];
    head[u]=num;
}

bool SPFA()
{
    memset(book,0,sizeof(book));
    memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
    memset(se,0,sizeof(se));
    while(!state.empty()) state.pop();
    state.push(S);
    se[S]=1,dis[S]=0,book[S]=1;
    while(!state.empty())
    {
        int u=state.front();
        se[u]=0;state.pop();
        for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
        {
            int v=ed[i].v;
            if(dis[v]>dis[u]+ed[i].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+ed[i].w;
                if(!se[v])
                {
                    se[v]=1;
                    state.push(v);
                    book[v]++;
                    if(book[v]>n+1) return 0;                   
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

bool check(int val)
{
    bool flag;
    for(int i=1;i<=num;i++)
        ed[i].w-=val;
    flag=SPFA();
    for(int i=1;i<=num;i++)
        ed[i].w+=val;
    return flag;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        init();
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(u,v,w);
            big=max(big,w);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            add(S,i,0);
        if(check(big+1))
        {
            printf("Infinite\n");
            continue ;
        }
        else if(!check(1))
        {
            printf("No Solution\n"); 
            continue ;
        }
        int lf=1,rg=big;
        while(lf<=rg)
        {
            int mid=(lf+rg)>>1;
            if(check(mid))
            {
                ans=mid;
                lf=mid+1;
            }
            else rg=mid-1;
        }       
        printf("%d\n",ans);
    }
}
/*
Whoso pulleth out this sword from this stone and anvil is duly born King of all England
*/

嗯，就是这样