【模板】Spfa判负环

最新推荐文章于 2024-05-05 17:45:42 发布

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最新推荐文章于 2024-05-05 17:45:42 发布 · 399 阅读

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本文介绍了如何在Spfa算法基础上添加额外机制来判断图中是否存在负环。通过一个简单的思路，结合Spfa，文章提供了相关博客推荐，并给出了具体代码实现。

【模板】Spfa判负环

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你判断图中是否存在负权回路。

输入格式
第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出格式
如果图中存在负权回路，则输出“Yes”，否则输出“No”。

数据范围
1≤n≤2000,
1≤m≤10000,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。

输入样例：
3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4
输出样例：
Yes

前言:如果你不了解Spfa算法，请先看这篇文章:

【模板】Spfa

好了，Spfa判负环的原理十分简单，思路就是在Spfa的基础上加一个cnt数组来判断一个点是否形成负环

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具体代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010,M=10010;
int n,m,h[N]

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● 百度百科：SPFA 算法是 Bellman-Ford 算法的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。SPFA 最坏情况下时间复杂度和朴素 Bellman-Ford 相同，为 O(VE)。 ●Bellman ford 算法可以存在负权回路，是因为其循环的次数是有限制的，因此最终不会发生死循环。但是， SPFA 算法不可以。这是因为，SPFA 算法用队列来存储，只要发生了更新就会不断的入队。因此，假如有负权回路请不要用 SPFA ，否则会死循环。

判负环

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判负环（Negative Cycle Detection）是指在一个图中判断是否存在一个**总权重为负数的环**。判负环是图论中的一个重要问题，尤其在最短路径算法中非常关键。例如，Bellman-Ford 算法可以检测图中是否存在从源点可达的负环。 --- ## 判负环的常用方法 ### 1. Bellman-Ford 算法判负环（适用于单源最短路径问题） Bellman-Ford 算法不仅可以求单源最短路径，还能检测图中是否存在负环。其核心思想是： - 对所有的边进行 `V-1` 次松弛操作（其中 `V` 是顶点数），因为在一个不含负环的图中，最短路径最多包含 `V-1` 条边。 - 如果在第 `V` 次松弛操作中仍然可以更新距离，说明图中存在负环。 #### Python 实现 Bellman-Ford 判负环： ```python def has_negative_cycle(graph, V, src): """ graph: List of edges in the form (u, v, w) V: number of vertices src: source vertex """ dist = [float('inf')] * V dist[src] = 0 # Relax all edges V-1 times for _ in range(V - 1): for u, v, w in graph: if dist[u] != float('inf') and dist[u] + w < dist[v]: dist[v] = dist[u] + w # Check for negative-weight cycles for u, v, w in graph: if dist[u] != float('inf') and dist[u] + w < dist[v]: return True # 存在负环 return False ``` --- ### 2. SPFA 算法（队列优化的 Bellman-Ford）判负环 SPFA 是 Bellman-Ford 的优化版本，使用队列来避免不必要的松弛操作。它也可以用于检测负环。 #### SPFA 判负环的 Python 实现： ```python from collections import deque def has_negative_cycle_spfa(graph, V, src): """ graph: adjacency list with weights, e.g. graph[u] = [(v, w)] V: number of vertices src: source vertex """ dist = [float('inf')] * V dist[src] = 0 in_queue = [False] * V count = [0] * V queue = deque() queue.append(src) in_queue[src] = True while queue: u = queue.popleft() in_queue[u] = False for v, w in graph[u]: if dist[u] + w < dist[v]: dist[v] = dist[u] + w if not in_queue[v]: queue.append(v) in_queue[v] = True count[v] += 1 if count[v] >= V: return True # 存在负环 return False ``` --- ### 3. Floyd-Warshall 算法判负环（适用于所有点对） Floyd-Warshall 是一种动态规划算法，可以求出所有点对的最短路径。如果发现某个点到自身的距离为负数，则说明存在负环。 #### Floyd-Warshall 判负环的 Python 实现： ```python def has_negative_cycle_floyd(graph, V): """ graph: V x V adjacency matrix with weights graph[i][j] = weight of edge i->j, INF if no edge """ dist = [[graph[i][j] for j in range(V)] for i in range(V)] for k in range(V): for i in range(V): for j in range(V): if dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]: dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j] # 如果某个点到自己的距离小于0，说明存在负环 for i in range(V): if dist[i][i] < 0: return True return False ``` --- ## 总结 | 方法 | 时间复杂度 | 是否支持多源 | 是否可检测所有负环 | |------|------------|--------------|---------------------| | Bellman-Ford | O(VE) | 否（单源） | 是（从源可达的负环） | | SPFA | 平均 O(E)，最坏 O(VE) | 否（单源） | 是（从源可达的负环） | | Floyd-Warshall | O(V³) | 是（多源） | 是（所有负环） | --- ###