A - Jzzhu and Sequences -矩阵快速幂

最新推荐文章于 2020-08-05 15:52:02 发布

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂算法高效计算斐波那契数列第n项的方法，通过构建特定矩阵并利用快速幂运算，可以在O(logn)时间内求解斐波那契数列，避免了传统递归方法的时间复杂度过高问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >


给定f1和f2，求fn
分析:
特判f1,f2
当n>=3时使用矩阵快速幂即可
将公式转化一下 , 可以得到一个变换矩阵
由F(i)=F(i-1)+F(i+1);
 将左式移到右边得
  F(i+i)=F(i)-F(i-1);
下标同时减一得
  F(i)=F(i-1)-F(i-2);
从而构造矩阵
(F(i-1),F(i-2))*[1  1 ]=(F(i),F(i-1))
                [-1 0 ]
带入i=3,得
(F(2)=y,F(1)=x)*[1  1 ]^(i-2)=(F(3),F(2))
                [-1 0 ]
转自：https://blog.youkuaiyun.com/u013050857/article/details/44998799#comments

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,x,y,mod=1000000007;
#define ll long long
struct mat
{
    ll a[5][5];
} ans,e,base;
mat matrlc(mat x,mat y,int len)
{
    mat c;
    for(int i=0; i<len; i++)
        for(int j=0; j<len; j++)
        {
            c.a[i][j]=0;
            for(int k=0; k<len; k++)
            {
                c.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
            }
        }
    return c;
}
void qpow(mat x,ll b)
{
    for(int i=0; i<2; i++)
        ans.a[i][i]=1;
    while(b)
    {
        if(b%2)
        {
            ans=matrlc(ans,x,2);
        }
        x=matrlc(x,x,2);
        b/=2;
    }
}
int main()
{
    base.a[0][0]=1;
    base.a[0][1]=1;
    base.a[1][0]=-1;
    base.a[1][1]=0;
    cin>>x>>y>>n;
    if(n==1)
        cout<<((x%mod)+mod)%mod;
    else if(n==2)
        cout<<((y%mod)+mod)%mod;
    else
    {
        qpow(base,n-2);
        cout<<(((ans.a[0][0]*y+ans.a[1][0]*x)%mod)+mod)%mod<<endl;
    }
    return 0;
}