概率空间与随机变量的概念

中学阶段的概率的概念，无法满足后续学习的要求，因此必须从测度论角度重新定义概率。本文整理了一些相关概念。

1 概率的公理化定义

定义 概率空间（probability space）：三元参数组$(\Omega ,\mathcal{F},\mathbf{P})$定义了一个概率空间。

其中$\Omega$是样本空间，即一个随机试验的所有可能结果，$\mathcal{F}$是样本空间$\Omega$的子集的集合，称为$\sigma$-域（$\sigma$-field），$\mathbf{P}$是概率函数。

定义 $\sigma$-field：样本空间$\Omega$的子集的集合$\mathcal{F}$要成为$\sigma$-field，必须要满足：

• $\Omega \in \mathcal{F}$;
• 若$\text{E}\in \mathcal{F}$，则${\text{E}}^c\in \mathcal{F}$；
• 若${\text{E}}_1,{\text{E}}_2,\cdots \in \mathcal{F}$，则∪i=1∞Ei∈F\cup_{i=1}^{\infty}\text{E}_i\in\mathcal{F}