依分布收敛是随机变量序列{Xn}趋向于随机变量X的理论，其定义要求cdf序列{Fn}在X的cdf F的连续点处极限一致。极限函数必须是随机变量的cdf，且只在F的连续点考虑。例如，当Xn=X+n1，Fn(x)→F(x-)，若F在x处不连续，则在定义中忽略这些点，仍认为Xn遵循依分布收敛。
1 定义
依分布收敛的定义是这样的：随机变量序列{
Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty}{
Xn}n=1∞，若它们的累积分布函数cdf序列{
Fn}n=1∞\{F_n\}_{n=1}^{\infty}{
Fn}n=1∞，与某个随机变量XXX的cdf FFF，满足
limn→∞Fn(x)=F(x) \lim_{n\to\infty} F_n(x)=F(x) n→∞limFn(x)=F(x)
在任意F(x)F(x)F(x)的连续点xxx处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量XXX，记为Xn⟶DXX_n\stackrel{D}\longrightarrow XXn⟶DX。
在这个定义中，有两个极易忽视但又重要的点，一是必须要对应到某个随机变量的cdf，而不是任意一个函数，二是只要求在F(x)F(x)F(x)的连续点处条件成立即可。
接下来，我们分析为何要如此定义。
2 极限函数必须是cdf
考虑Xn∼N(0,σn2)X_n\sim N(0,\sigma_n^2)Xn
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