依分布收敛的定义细节

1 定义

依分布收敛的定义是这样的：随机变量序列{Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty}{Xn​}n=1∞​，若它们的累积分布函数cdf序列{Fn}n=1∞\{F_n\}_{n=1}^{\infty}{Fn​}n=1∞​，与某个随机变量$X$的cdf $F$，满足
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)=F(x)$$
在任意$F(x)$的连续点$x$处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量$X$，记为$X_n\stackrel{D}{⟶}X$。

在这个定义中，有两个极易忽视但又重要的点，一是必须要对应到某个随机变量的cdf，而不是任意一个函数，二是只要求在$F(x)$的连续点处条件成立即可。

接下来，我们分析为何要如此定义。

2 极限函数必须是cdf

考虑$X_n\sim N(0,{\sigma }_n^2)$，${\sigma }_n\to +\infty$，我们有
$$F_n(x)=P(\frac{x_n}{{\sigma }_n}\le \frac{x}{{\sigma }_n})=\Phi (\frac{x}{{\sigma }_n})$$
在任一点$x$处，都有$\Phi (\frac{x}{{\sigma }_n})\to \Phi (0)=\frac{1}{2}$，因此，可设$F(x)=\frac{1}{2}$，就满足定义中的极限条件。但此时，$F(x)$不是任何随机变量的cdf，因为随机变量的cdf需要满足$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$以及$\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1$。

这一点如何修正？我们只需让序列{Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty}{Xn​}n=1∞​是依概率有界即可。而在定义中，就要求cdf函数列的极限形式，一定要对应到某个随机变量的cdf。

3 只考虑连续点

回忆cdf的另一个性质：右连续，即$F(x)=F(x+)$。但在依分布收敛的情形中，很可能会出现不满足的情况，如$X_n=X+\frac{1}{n}$，易知
$$F_n(x)=P(X_n\le x)=P(X\le x-\frac{1}{n})=F(x-\frac{1}{n})$$

若$n\to \infty$，则$F_n(x)\to F(x-)$。若$F$在$x$处不满足左连续，那么不能满足$F_n(x)\to F(x)$，因此在定义中，需将$F$的不连续点排除。

举个具体的例子，如$X_n\sim U_{(0,1/n)}$，则$X_n$在极限时的分布会退化为$X=1$，而$F_n(0)=0$恒成立，但$F(0)=1$，因此对于$x=0$无法满足$F_n(x)\to F(x)$，但$x=0$是$F(x)$的不连续点，因此可以剔除。所以还是认为$X_n\stackrel{D}{⟶}X$。