1 定义
依分布收敛的定义是这样的:随机变量序列{
Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty}{
Xn}n=1∞,若它们的累积分布函数cdf序列{
Fn}n=1∞\{F_n\}_{n=1}^{\infty}{
Fn}n=1∞,与某个随机变量XXX的cdf FFF,满足
limn→∞Fn(x)=F(x) \lim_{n\to\infty} F_n(x)=F(x) n→∞limFn(x)=F(x)
在任意F(x)F(x)F(x)的连续点xxx处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量XXX,记为Xn⟶DXX_n\stackrel{D}\longrightarrow XXn⟶DX。
在这个定义中,有两个极易忽视但又重要的点,一是必须要对应到某个随机变量的cdf,而不是任意一个函数,二是只要求在F(x)F(x)F(x)的连续点处条件成立即可。
接下来,我们分析为何要如此定义。
2 极限函数必须是cdf
考虑Xn∼N(0,σn2)X_n\sim N(0,\sigma_n^2)Xn