依分布收敛的定义细节

依分布收敛是随机变量序列{Xn}趋向于随机变量X的理论,其定义要求cdf序列{Fn}在X的cdf F的连续点处极限一致。极限函数必须是随机变量的cdf,且只在F的连续点考虑。例如,当Xn=X+n1,Fn(x)→F(x-),若F在x处不连续,则在定义中忽略这些点,仍认为Xn遵循依分布收敛。

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1 定义

依分布收敛的定义是这样的:随机变量序列{ Xn}n=1∞\{X_n\}_{n=1}^{\infty}{ Xn}n=1,若它们的累积分布函数cdf序列{ Fn}n=1∞\{F_n\}_{n=1}^{\infty}{ Fn}n=1,与某个随机变量XXX的cdf FFF,满足
lim⁡n→∞Fn(x)=F(x) \lim_{n\to\infty} F_n(x)=F(x) nlimFn(x)=F(x)
在任意F(x)F(x)F(x)的连续点xxx处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量XXX,记为Xn⟶DXX_n\stackrel{D}\longrightarrow XXnDX

在这个定义中,有两个极易忽视但又重要的点,一是必须要对应到某个随机变量的cdf,而不是任意一个函数,二是只要求在F(x)F(x)F(x)的连续点处条件成立即可。

接下来,我们分析为何要如此定义。

2 极限函数必须是cdf

考虑Xn∼N(0,σn2)X_n\sim N(0,\sigma_n^2)Xn

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