概率论与统计的基础知识（概率空间、最基本的分布、数字特征）

了解最基础的概率论知识，参考来自《概率导论》和《波利亚罐子模型的相关分布》

 

1    样本空间与概率

1.2概率模型

   1.2.1 样本空间和事件

          每个概率模型对应一个试验，这个试验所产生的所有可能结果组成了样本空间，其中某些结果占样本空间比例就是它的概率。事件是结果的集合，可以是结果的交集、并集啥的都行。

举个例子：

    波利亚罐子模型就是一种概率模型，它所产生的罐子中所有球的各自个数和比例就可以叫随机变量，而RC算法所找到的点具有某种性质，它所代表的事件占样本空间比例就是概率。

 

     1.2.2  恰当的样本空间（恰好刻画规律而我们感兴趣）

    举个例子：   十次投硬币，我们可以关心10次投硬币正面向上的次数。（这是一个0，到10的样本空间，每次试验结果都是互斥的）。

 

   1.2.3  序贯模型

现实中的n重伯努利实验、几何分布、二项分布、泊松分布都是序贯模型。

   举个例子：

 

1.2.4   概率律

    我们已经确定了试验和对应样本空间，那么概率律就表示确定任何结果或者结果集合的似然程度，也就是说它给每一个事件一个概率。那么这些概率就相当于数学里面的数字了，在样本空间中，它有自己的计算方法。即

概率的具体解释是频率，在大量重复试验的情况下，发生A事件的次数占比趋向于其频率。

以上，我们便定义了概率论的基石，就是给大量重复试验中选择样本空间，在这个样本空间中，某种事件出现的概率，其在样本空间满足非负性、可加性、归一化等定理。由这些可以推导概率论中很多性质。

 

1.2.5 离散模型

离散模型和连续模型的不同在于样本空间的离散还是连续。

 

考虑一个例子：

我们有

那么现在假设这有限个可能结果的概率是均等的，那么有

 

1.2.6 连续模型

   考虑一个例子：

 

 

1.2.7 概率律的其他性质

  都可以由三条基本定理推导出来

 

1.2.8 模型与现实

它是指对待一个实验的时候，一定要清楚样本空间是什么。

 

1.3 条件概率

先有直观的理解，后有数学定义，然后就分流了，一方面是纯数学的关心数学工具本身性质等等，另一方面是直接用数学工具的各种结论去应用。

直观

 

数学定义

其纯数学方面的性质

条件概率是定义在已经发生的事件上的概率，样本空间就是已经发生的事件本身。它就会满足概率的三个公理，可加性、非负性、归一性。

这个跟数学发展是一样的，从定义和公理出发，推导出一切推论。比如定义自然数及其运算，这里是定义概率律及其运算。