正态分布的条件分布与边缘分布

最新推荐文章于 2025-07-13 09:15:13 发布

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#线性代数 #概率论 #数学

本文探讨了多元正态分布中条件分布和边缘分布的性质。对于联合正态分布的变量，条件分布可以表示为特定形式的正态分布，边缘分布则保持为正态分布。证明过程涉及精度矩阵和正态分布密度函数的指数项特性。通过适当操作，可以推导出条件分布和边缘分布的具体形式。

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本文总结多元正态分布的条件分布与边缘分布，证明不难，但都比较繁琐，故不做详细证明，有兴趣可以参考Pattern Recognition and Machine Learningy一书。

1 正态分布的条件分布

对于联合正态分布变量 $x∼N(μ,Σ)x\sim N(\mu,\Sigma)$ ，定义精度矩阵（the precision matrix）为协方差矩阵的逆，即 $Λ≡Σ−1\Lambda\equiv \Sigma^{-1}$ ，做分块处理：
$x=\begin{bmatrix} x_a \\ x_b \end{bmatrix}, \mu=\begin{bmatrix} \mu_a \\ \mu_b \end{bmatrix},\Sigma=\begin{bmatrix} \Sigma_{aa} &\Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba}& \Sigma_{bb} \end{bmatrix}, \Lambda=\begin{bmatrix} \Lambda_{aa} &\Lambda_{ab} \\ \Lambda_{ba}& \Lambda_{bb} \end{bmatrix}$

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