正态分布的条件分布与边缘分布

本文总结多元正态分布的条件分布与边缘分布，证明不难，但都比较繁琐，故不做详细证明，有兴趣可以参考Pattern Recognition and Machine Learningy一书。

1 正态分布的条件分布

对于联合正态分布变量$x\sim N(\mu ,\Sigma )$，定义精度矩阵（the precision matrix）为协方差矩阵的逆，即$\Lambda \equiv {\Sigma }^{-1}$，做分块处理：
x=[xaxb],μ=[μaμb],Σ=[ΣaaΣabΣbaΣbb],Λ=[ΛaaΛabΛbaΛbb] x=\begin{bmatrix} x_a \\ x_b \end{bmatrix}, \mu=\begin{bmatrix} \mu_a \\ \mu_b \end{bmatrix},\Sigma=\begin{bmatrix} \Sigma_{aa} &\Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba}& \Sigma_{bb} \end{bmatrix}, \Lambda=\begin{bmatrix} \Lambda_{aa} &\Lambda_{ab} \\ \Lambda_{ba}& \Lambda_{bb} \end{bmatrix} x=[xa​xb​​],μ=[μa​μb​​],Σ=[Σ