26考研|高等代数：线性方程组

线性方程组这一章节承接行列式而来，将以前高中阶段所学的一元一次方程、二元一次方程组进行推广，形成n元一次方程组。本章系统的介绍了方程组的求解方法，以及其解的结构性问题，同时引入非常重要的“线性”这一概念，这将在后续学习中不断出现。

课本简单概括

3.1消元法

这一小节首先介绍了线性方程组的初等变换（乘、加、换），进而通过初等变换的方法不断简化线性方程组，最终化为阶梯型方程组，通过判断方程组的个数与未知量的个数关系，判断解的类型情况，与此同时，为了便利求解方法，引入系数矩阵与增广矩阵的概念，进行进一步简化步骤。

3.2n维线性空间

这一小节概念偏多，但较为简单，简而言之，其实就是三维空间的推广，而其中所介绍的线性运算为加法和数量乘法，这一点必须牢记。

3.3线性相关性

本小节十分重要，在分析过程中，必须对课本概念灵活掌握，本小节概念多，但应把握以下几个关键概念：线性相关、线性无关、线性表出、等价，以及极大线性无关组的引出，应该明确：一个方程组与它的极大线性无关组等价，这从一定程度上会简便问题的分析，使得问题的处理更加简便。

3.4矩阵的秩

本小节也是十分重要，一定要掌握求矩阵秩的方法，知道任意列向量组的极大无关组中向量的个数等于其形成矩阵的秩，要掌握通过矩阵初等变换的方法去求某一向量组的极大无关组的方法。

3.5线性方程组有解判别定理

本小节回归主线分析，判断线性方程组是否有解：判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等，若相等，则有解（进而讨论有唯一解还是无穷多解）；若不等，则无解。

3.6线性方程组解的结构

本小节分开介绍了两种线性方程组解的结构，但是无论哪一种方程组，在求解前，都先运用判别定理判断其是否有解，进而进行下一步。针对于齐次方程，一定要理解基础解系的概念，掌握运用基础解系表示解的方法；针对于非齐次方程，在求解过程中注意分两步走：求特解+求其导出组的基础解系。

小结

本章求解较为机械，理论层面知识不多，要重点理解线性相关、线性无关以及矩阵的秩这些概念。掌握求矩阵的秩的方法，会运用基础解系表示线性方程组解的情况，还应掌握运用判别定理判断线性方程组解的情况，尤其是含参方程组。

课本经典例题