圆锥曲线的分类

最新推荐文章于 2025-07-22 16:38:13 发布

ADEnBeyond

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分类专栏：高等数学练习题文章标签：学习

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有一个圆锥 $C$ ，以及一个不过圆锥顶点的平面 $Q$ 。用解析几何证明：当平面平行于圆锥的轴时，交线是双曲线；当平面平行于圆锥的母线时，交线是抛物线；其它情况下，交线为椭圆（包括圆）。

解：在空间中建立右手直角坐标系 $O - x yz$ . 取直线 $γ:x0=yα=z1\gamma: \frac{x}{0}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z}{1}$ 作为母线，直线 $ℓ:x0=ym=z1\ell: \frac{x}{0}=\frac{y}{m}=\frac{z}{1}$ 作为轴。轴的方向向量是 $(0, m, 1)$

任取圆锥上的一个点 $P (x, y, z)$ , 假设它是由母线上一个点 $P^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 旋转而来。那么 $P′P→⊥(0,m,1)\overrightarrow{P'P} \perp (0, m, 1)$ . 而点 $P, P^{'}$ 到轴上任意一点的距离相等。特别，原点在轴上，所以 $∣PO→∣=∣P′O→∣|\overrightarrow{PO} |=|\overrightarrow{P'O} |$ . 由此得到方程组 ${m(y−αz′)+(z−z′)=0,x2+y2+z2=α2z′2+z′2.\begin{cases} m(y-\alpha z')+(z-z') &=0, \\ x^2+y^2+z^2 &= \alpha^2 z'^2 +z'^2.\end{cases}$ 消去 $z^{'}$ ，得到
$x2+y2+z2=α2+1(mα+1)2(my+z)2.x^2+y^2+z^2=\frac{\alpha^2+1}{(m\alpha+1)^2}(my+z)^2.$

再把 $C$ 的顶点平移到 $(0, b, 0)$ , 其中 $\neq 0$ 为常数。则 $C$ 的方程变为
$x2+(y−b)2+z2=α2+1(mα+1)2(my−mb+z)2.x^2+(y-b)^2+z^2=\frac{\alpha^2+1}{(m\alpha+1)^2}(my-mb+z)^2.$

取 $Q$ 为 $x z$ -平面（平面方程为 $y = 0$ ). $Q$ 与 $C$ 相交得到曲线 $\begin{cases} x^2+b^2+z^2 &=\frac{\alpha^2+1}{(m\alpha+1)^2}(z-mb)^2, \\ y &=0. \end{cases}$

如果 $Q$ 平行于轴直线 $ℓ\ell$ , 则 $m = 0$ , 此时 $K$ 是 $x z$ -平面上的双曲线 $x2+b2=α2z2x^2+b^2=\alpha^2 z^2$ . 注意，如果 $b = 0$ ，即 $Q$ 包含 $C$ 的轴，那么交线是 $x=±αzx=\pm \alpha z$ , 是两条相交直线。它们恰好是双曲线 $x2+b2=α2z2x^2+b^2=\alpha^2 z^2$ 的两条渐近线。

如果 $Q$ 平行于母线 $γ\gamma$ , 则 $α=0\alpha=0$ , 此时 $K$ 是 $x z$ -平面上的抛物线 $x^2+2mbz=(m^2-1)b^2$ . 特别，当 $m=±1m=\pm 1$ 时，抛物线过原点. (注意此时圆锥的顶点不在原点）

其它情况下， $Q$ 与 $γ,ℓ\gamma, \ell$ 都不平行，即 $αm≠0\alpha m \neq 0$ . 此时 $K$ 为 $x z$ -平面上的椭圆。特别，当平面 $Q$ 与轴垂直时，交线是圆。但由于此处取定 $Q$ 为平面 $y = 0$ ，不可能与轴 $ℓ\ell$ 垂直，即 $α2+1≠0\alpha^2+1 \neq 0$ .