正交投影的矩阵（基变换与过渡矩阵的例子）

在$n$维欧几里得空间$V$中，有子空间$W$. 如果用自然基$({\mathbf{e}}_i{)}_{1\le i\le n}$，设$W=\mathrm{span}(w_1,\dots ,w_d)(0<d<n)$. 将这个基作Schmidt正交化（并单位化），得到$W$的一个标准正交基$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d)$. 将这个标准正交基扩充为$V$的一个基：$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},{\eta }_{d+2},\dots ,{\eta }_n).$$

假定从自然基到上述标准正交基的过渡矩阵为$T$: 即$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_d,{\eta }_{d+1},\dots ,{\eta }_n)=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}^{}$$